从非欧几里得几何谈数学前提 - 辕门射虎


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#1

发表于 2015-3-8 08:42 资料个人空间短消息看全部作者

从非欧几里得几何谈数学前提

先贴一些百度知识：

非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为：
第一. 由任意一点到任意一点可作直线。第二. 一条有限直线可以继续延长。第三. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。第四. 凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然罗巴切夫斯基后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。
宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。

根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除平面几何外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：
根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的平行线，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：
黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在球面上是可以应用的。
此外：
曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。

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#2

发表于 2015-3-8 08:53 资料个人空间短消息看全部作者

我们生活中一般用欧几里得几何，默认的前提就是欧几里得几何。
如果我们和其他人讨论问题涉及非欧几里得几何，需要直接说明或者用其他隐含条件说明。比如讨论广义相对论效应时，可以直接要用黎曼几何无需另外说明。

可能欧几里得几何大家还不够熟悉，不妨用更普通的二进制来说明。
二进制数据一般可写为：（a1a2a3.a4a5)2 (数字都是下标）。
在说明整个运算都是二进制的时候可以简化。
如二进制运算规则：0+1=1，1+1=10。
在二进制和十进制同时使用时不能简化表示。

数学有很多分支，各分支内部所有的命题都构成了一个严密的公理体系。但是各分支之间有出入。所以在讨论非默认前提的数学分支时需要加以说明。

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#3

发表于 2015-3-16 08:52 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-14 22:08 发表
你要有干货，就发出来证明自己的能力。你说我被误导，那么自己就要附上说明和解释。

像你这样发个观点然后喷口水的，叫废话好不好？

你要发废话也由得你，问题是你还能把可以发干货的人给喷走好不好？你说 ...

好像天宫公主也这样的。
她所说的干货也就是几个专业名词。

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#4

发表于 2015-3-16 09:02 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-3-13 21:44 发表
这个最多证明你们比我会下套而已

P.S. 再次展现你的歪楼功夫何等了得, 直接就不聊几何了.

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-2-28 21:09 发表

你的意思是 50000000 km/h + 20000000 km/h = 70000000 km/h 是正确的？

你的意思是 50000000 km/h + 20000000 km/h = 70000000 km/h 是不正确的？
如果不正确，那么正确的答案是什么，能否给出详细的过程。

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#5

发表于 2015-3-16 09:18 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #57 武骧金星的帖子

专业的人在专业的领域谈不专业的话题，也不是权威。
比如刘世挣的施范业五论你认同吗？

比如本帖的重点是讨论数学问题的前提，不知道你认为讨论问题是否需要前提。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-3-16 09:21 编辑 ]

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#6

发表于 2015-3-16 09:45 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #59 武骧金星的帖子

你说的前提和我说的前提不一样的。

比如，施范业五论你的前提就是“施范穿越到现在来和业五下棋（不给他们学习和适应的时间）”，我也能认同。
这就是前提，否则你在“（不给他们学习和适应的时间）”的前提下阐述自己的观点，我则在“（给他们一定的学习和适应时间）”下阐述观点，能讨论到一起吗?

[ 本帖最后由墨叶于 2015-3-16 09:47 编辑 ]

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#7

发表于 2015-3-16 10:01 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #62 武骧金星的帖子

我和你说1+1=2，你偏说在二进制中1+1=10。然后说1+1=2是错的。

或者你说20KM/H+50KM/H=70KM/H是错的，然后说是根据相对论。

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#8

发表于 2015-3-16 10:19 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #64 武骧金星的帖子

是她先说1+2=3是错的，没前提说1+2=3是错的就是错误说法。
我不认为她混乱前提的情况下的观点。我当然要辩论。

并不是我找她辩论，是她无故挑刺。

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发表于 2015-3-16 10:25 资料个人空间短消息看全部作者

现在新理论层出不穷。
比如有人证明1+2+3+4+5+...=-1/12。

没必要全部掌握。

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