从非欧几里得几何谈数学前提 - 辕门射虎


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#1

发表于 2015-3-8 08:42 资料个人空间短消息只看该作者

从非欧几里得几何谈数学前提

先贴一些百度知识：

非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为：
第一. 由任意一点到任意一点可作直线。第二. 一条有限直线可以继续延长。第三. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。第四. 凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然罗巴切夫斯基后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。
宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。

根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除平面几何外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：
根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的平行线，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：
黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在球面上是可以应用的。
此外：
曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。

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#2

发表于 2015-3-8 08:53 资料个人空间短消息只看该作者

我们生活中一般用欧几里得几何，默认的前提就是欧几里得几何。
如果我们和其他人讨论问题涉及非欧几里得几何，需要直接说明或者用其他隐含条件说明。比如讨论广义相对论效应时，可以直接要用黎曼几何无需另外说明。

可能欧几里得几何大家还不够熟悉，不妨用更普通的二进制来说明。
二进制数据一般可写为：（a1a2a3.a4a5)2 (数字都是下标）。
在说明整个运算都是二进制的时候可以简化。
如二进制运算规则：0+1=1，1+1=10。
在二进制和十进制同时使用时不能简化表示。

数学有很多分支，各分支内部所有的命题都构成了一个严密的公理体系。但是各分支之间有出入。所以在讨论非默认前提的数学分支时需要加以说明。

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#3

发表于 2015-3-13 21:14 资料短消息只看该作者

漏洞太多懒得一一说明, 只说最重要的一点. 现在我们所谓的"欧式几何", 根本不是欧几里得五大公理就能支撑的. 把平面几何说成"欧式几何", 更多是一种尊重和纪念, 如果真把五大公理和平面几何划等号, 那就是滑天下之大稽了.

欧几里得本人提出的五大公理, 只能允许可数点几何. 然而, 不论是平面还是直线, 只要有连续性的都有不可数点. 所以欧几里得的五大公理根本不够, 这一点 Descartes 在研究解析几何时就已经提过了(笛卡尔比洛巴切夫斯基大概早 200 年朝上). 现在公认的平面几何完整公理, 根本不是欧几里得的五大公理, 而是一直到 1899 年才被 Hilbert 敲定的 20 条 Hilbert Axioms (如果有内行认为 Tarski 公理比 Hilbert 公理更合适, 我们可以专开一贴讨论).

P.S. 黎曼几何包含了罗氏集合, 而且黎曼几何后面那个"(球面)"可谓不知所云.
P.P.S. 建议楼主还是把基本功先练扎实了, 再出来秀自己的观点. 数学不似人文, 多拉几个帮架的黑的就能说成白的, 秀数学是靠实力的.

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-13 21:42 编辑 ]

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#4

发表于 2015-3-13 21:23 资料短消息只看该作者

数学有很多分支，各分支内部所有的命题都构成了一个严密的公理体系。但是各分支之间有出入。所以在讨论非默认前提的数学分支时需要加以说明。

-------------------

400 年前, 在笛卡尔时代提出这个观点, 或许还是个人才.

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#5

发表于 2015-3-13 21:41 资料文集短消息只看该作者

我觉得基本功扎不扎实，下面这个贴子是最好的说明。
http://www.xycq.net/forum/thread-294875-1-1.html

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#6

发表于 2015-3-13 21:44 资料短消息只看该作者

回复 #5 杏花疏影的帖子

这个最多证明你们比我会下套而已

P.S. 再次展现你的歪楼功夫何等了得, 直接就不聊几何了.

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#7

发表于 2015-3-13 21:50 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-3-13 21:44 发表
这个最多证明你们比我会下套而已

P.S. 再次展现你的歪楼功夫何等了得, 直接就不聊几何了.

你歪曲事实、倒打一耙的本事，真是天下无双。

人家墨叶发的贴子，又没找你，你自个冲上去，嘲笑别人，后来才发现是自己基本功不扎实，不但最起码的单位换算都不成，连小学语文也不及格，而且还强词夺理。

今天是你说人家基本功不扎实的，要歪楼，也是你先歪的。

PS，文史更是靠实力的积累，黑的就是黑的，白的就是白的。自己若是读书少，一眼就会被瞧出来，不是喊口号，说读过《三国志》与《资治通鉴》，就一定读过的。

[ 本帖最后由杏花疏影于 2015-3-13 22:02 编辑 ]

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#8

发表于 2015-3-13 21:55 资料短消息只看该作者

回复 #7 杏花疏影的帖子

有本事就聊几何, 没本事就一边呆着去.

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#9

发表于 2015-3-13 21:59 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-3-13 21:55 发表
有本事就聊几何, 没本事就一边呆着去.

有本事就让人看一下谁基本功不扎实，没本事就赶快遁走。

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#10

发表于 2015-3-13 22:10 资料个人空间短消息只看该作者

话说我每次看到这种帖子都觉得很囧，为啥一个好好的科普贴就这么变成口水贴了呢……

公主啊，你以前在辕门发过那么多有趣的，有质量的帖子，怎么现在也汲汲于吐槽了呢。诚然墨叶和杏花他们喜欢挑你的毛病，在我看来很没有意思，但是你来个同态报复更加囧啊。

就比如说这个帖子吧，公主你既然知道现代平面几何不能用欧式公里来阐述了，那么为什么不深入讲讲为什么呢？提到希尔伯特定理也不妨做点科普啊，你说点自己的理解比我们自己去看维基百科，效果要好得多。

其实吧，在虎区吐口水在我看来是最没意思的事情——你自己也说么，秀数学是靠实力的，你直接发干货把我们砸晕掉不就得了……

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#11

发表于 2015-3-13 23:03 资料短消息只看该作者

回复 #10 武骧金星的帖子

我报复至少还是有干货的

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#12

发表于 2015-3-13 23:03 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-3-13 23:03 发表
我报复至少还是有干货的

我从不报复，只用干货打别人的脸。

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#13

发表于 2015-3-13 23:05 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #11 颖颖的帖子

有干货发啊……

请公主尽可能说说：（1）欧式五公里为啥“只能允许可数点几何”？推广到不可数点有什么问题？（2）希尔伯特定理为了解决不可数点的处理，到底与欧式公里有什么核心区别？

我就试着做个好的提问者吧ORZ……

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#14

发表于 2015-3-13 23:07 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 22:10 发表
就比如说这个帖子吧，公主你既然知道现代平面几何不能用欧式公里来阐述了，那么为什么不深入讲讲为什么呢？

纠正一点, 不是现代平面几何不能用欧式公理来阐述了, 而是平面几何一直以来都不能用欧式公理来阐述, 只不过其背后的逻辑漏洞是从 Descartes 到 Hilbert (或者说 Tarski 也可以) 一步步想明白的而已.

如果谁想跟我品味 Hilbert 的平面几何公理和 Tarski 之间的差别, 我倒可以认真地回复一下. 至于说楼主那种水平的, 连欧式几何和欧几里得公理几何之间的差别都不知道, 除了拍砖真的没有别的可说了.

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#15

发表于 2015-3-13 23:10 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:05 发表
有干货发啊……

请公主尽可能说说：（1）欧式五公里为啥“只能允许可数点几何”？推广到不可数点有什么问题？（2）希尔伯特定理为了解决不可数点的处理，到底与欧式公里有什么核心区别？

我就试着做个好的 ...

1, 因为欧式公理是上的所有元素都是 constructable, constructable 集合的无穷大量级最大就是可数级.
2, 解决不可数点是笛卡儿时代的事情, 当然笛卡尔本身不知道, 因为他不知道实数不可数. 但他把实数集和线的概念联系起来, 算是间接地解决了这个问题吧.

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#16

发表于 2015-3-13 23:11 资料个人空间短消息只看该作者

度的东西靠不住，真正专业的论坛上，引用WIKI的内容都是极其掉份丢人的事情。

概念这东东，说起来简单，但其实如果真能够和推导技巧结合起来，绝对都属于上一流的水准。

比如说，波粒二象性这东西，如果你觉得认不认它对你的解决方案有影响，那咱觉得伯克利哈佛的博士生招生都不该拒绝你（而且你根本就不必去考G考T）。。。。哦，不过，不是有没有采用概率的差别，不是那个，是其他方面的。

咱的观点是，如果不能确定对不对，最好表向学生推荐波粒二象性这东东，N代人都已经被它给带沟里了。

有个论坛叫physicsforums，宣传语是the fusion of science那个，E文能凑合的不妨去看看，里边有些针对本科甚至初中生的版块，

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#17

发表于 2015-3-13 23:15 资料个人空间短消息只看该作者

能请ptcn多说两句么？波粒二象性有什么问题？

公主那边也是。能请你用简单一点的语言么……我也算受过高等教育了，你能用我可以脑补的方案来解释问题么……

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#18

发表于 2015-3-13 23:16 资料短消息只看该作者

回复 #16 ptcn 的帖子

兰州这种水平的, 引用WIKI的内容都已经 over the top 了. 专不专业也是双方的事情, 如果轩辕有在 arxiv.org 上灌水的（除我之外），跟他们讨论我也肯定不会引用 wiki 上的内容．

至于说概念嘛, 还是那句话... 笛卡尔将直线和实数集建立联系, 后来人发现实数集原来不可数, 因此笛卡尔解决的其实是一个不可数问题... 但不可数这个概念连笛卡尔本人都不知道啊! 概念的确害人.

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-13 23:29 编辑 ]

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#19

发表于 2015-3-13 23:28 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:15 发表
能请ptcn多说两句么？波粒二象性有什么问题？

公主那边也是。能请你用简单一点的语言么……我也算受过高等教育了，你能用我可以脑补的方案来解释问题么……

不同级别的无穷大, 听说过么? 没有的话，这里有个链接．http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

如果需要补习这个，可能就真的没法＂简单一点＂了．　

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#20

发表于 2015-3-13 23:32 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由颖颖于 2015-3-13 23:16 发表
兰州这种水平的, 引用WIKI的内容都已经 over the top 了. 专不专业也是双方的事情, 如果轩辕有在 arxiv.org 上灌水的（除我之外），跟他们讨论我也肯定不会引用 wiki 上的内容．

至于说概念嘛, 还是那句话. ...

你还好意思说别人引用WIKI的内容？
是谁在下面这个贴子里用百度的内容，却冒充原创？结果还是错的。

http://www.xycq.net/forum/thread-293454-1-2.html

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#21

发表于 2015-3-13 23:35 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #19 颖颖的帖子

这样就行了，有链接我可以自己去看。

不过公主啊，我表示你喜欢用专有名词这一点最好还是改改吧。我能理解是因为我和数学专业的人聊过许多，而我相信很多坛友会觉得你在装13的——甚或会觉得你这人水平差，只会堆积概念而缺乏自己的认识，所以没办法用更直白简单的语言来阐述。

你看看你以前发的精华帖里也没那么多专有名词是不……起码，不知道一个概念，不会影响对整个文章的理解。

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#22

发表于 2015-3-14 00:35 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-13 23:35 发表
这样就行了，有链接我可以自己去看。

不过公主啊，我表示你喜欢用专有名词这一点最好还是改改吧。我能理解是因为我和数学专业的人聊过许多，而我相信很多坛友会觉得你在装13的——甚或会觉得你这人水平差，只 ...

反正我也看不起那帮宵小

P.S. 差点忘记，Baire category 定理也需要 http://en.m.wikipedia.org/wiki/Baire_category_theorem

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 00:38 编辑 ]

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#23

发表于 2015-3-14 01:03 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #22 颖颖的帖子

嘛，思维方式不同，不代表有高下之分，公主你着相了。可以就事论事，不可因言废人。

话说我把第一个维基看了一下，知道不同的无穷大集合可以基数不同了……但是仍旧不明白这和欧氏公里有啥关系呀？

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#24

发表于 2015-3-14 01:03 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 杏花疏影 于 2015-3-13 23:03 发表

我从不报复，只用干货打别人的脸。

请你出示干活？你有吗？

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#25

发表于 2015-3-14 01:05 资料文集短消息只看该作者

第二. 一条有限直线可以继续延长

一条有限直线应该改为线段吧。

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#26

发表于 2015-3-14 01:08 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #25 cmy77 的帖子

知道他在说啥就行了，不要太纠结于概念。

数学是一门艺术，诚然要深入学习的话，各种简约而又精准的定义是很有趣的。但是LZ不是这方面专家（他好像是高中数学教师？），只不过基于自己的能力给大家科普一下罢了，而你纠结于一个词说得对不对，那就是买椟还珠了。

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#27

发表于 2015-3-14 01:17 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 武骧金星 于 2015-3-14 01:03 发表
嘛，思维方式不同，不代表有高下之分，公主你着相了。可以就事论事，不可因言废人。

话说我把第一个维基看了一下，知道不同的无穷大集合可以基数不同了……但是仍旧不明白这和欧氏公里有啥关系呀？

还是只说正题好了. 欧式的五大公理为:

"Let the following be postulated":
1."To draw a straight line from any point to any point."
2."To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line."
3."To describe a circle with any centre and distance [radius]."
4."That all right angles are equal to one another."
5.The parallel postulate: "That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles."

由于每一条公理，都能用规尺做图方法画出来，靠它所产生的点，其解析都是代数小数。这是因为规尺做图的每一步，和代数概念中的域扩张有关，而域扩张的方法就是靠给基础域（其实就是有理数 Q）不停添加在该域上不可分解的多项式根（但多项式系数要来自于基本域），这也是为什么规尺做图点和代数小数能扯上关系。代数小数之外的点，也就是超越小数（例如，数字 pi），仅靠五大公理连它们是否存在都证明不了，更别说证明包含它的定理了。代数小数集的基数和自然数集一样，都严格小于实数集的基数。

总结一下：令">"为集合包含，实数（已知不可数，基数大于和整数基数的集合都叫不可数）> 代数小数（已知可数，和整数一个基数的无穷大都叫可数）> 靠规尺做图能作出来的点 > 靠五大公理能证明存在的点。

P.S. 由于靠五大公理能证明存在的点 > 有理数，而古希腊人曾固执地认为有理数 = 实数，这是为什么欧式公理能存在这么久，也没有人对他提出质疑。

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 01:34 编辑 ]

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#28

发表于 2015-3-14 01:18 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 cmy77 于 2015-3-14 01:05 发表
第二. 一条有限直线可以继续延长

一条有限直线应该改为线段吧。

估计是翻译问题

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#29

发表于 2015-3-14 01:34 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #27 颖颖的帖子

嘛，这样就可以脑补了。不过顺便提个问题：超越数和代数数我知道，你说的代数“小”数和我知道的代数数是一个意思么（就是整系数方程的根）？

于是接下来，请公主讲讲希尔伯特公式的问题吧。希尔伯特公式和欧拉公式有什么核心的差异，请公主说说自己的理解~

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#30

发表于 2015-3-14 01:56 资料短消息只看该作者

回复 #29 武骧金星的帖子

哦，也可能中文正确叫法是超越数/代数数吧。

希尔伯特公理多了去了，一共 20 个，可以先看看 wiki 吧。。。

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms

--------------------------------

现在欧式几何的公理体系，有 N 多套都是比较合理的，但推广比较成功的大概就是 Hilbert 和 Tarski 的而已。

主要有几点比较讲究的，

1，Hilbert 和 Tarski 是针对不同的逻辑系统定的公理。因为公理的作用是，公理+逻辑 -----产生----> 定理/定理的证明。因此，如果逻辑体系本身变了，那么公理也要随之而变。欧几里得时代的逻辑学不发达，所以欧式公理是独立于一套明确的逻辑体系而提出来的。当然在那么久远的时代提出还是很伟大的。Tarski 和 Hilbert 最大的差别在于，Tarski 成功地绕过了 Godel's Incompleteness Theorem（不过这个定理其实就是冲着 Hilbert 来的），但代价是理解起来比 Hilbert 的要复杂（Hilbert 公理是 0 介逻辑，Tarski 是 1 介逻辑）。

2，Hilbert 和欧几里得的几个主要的不同在于，
a) 欧几里得公理没有提到立体几何，更无从谈及高维几何。
b) 线和点的关系，欧氏没有提及。
c) 一些关于实数拓扑性的公理，这个欧氏不可能知道。
d) 关于角度相等的公理，欧氏处理的不完整。
其实，还有 n 多。。。细讲的话，可以开半门大四的课了。。。

[ 本帖最后由颖颖于 2015-3-14 01:58 编辑 ]

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