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3_141592653589 (无尽圆周率) 组别 校尉 级别 平西将军 功绩 23 帖子 2258 编号 71200 注册 2006-6-3 来自 北京

#1 发表于 2010-9-5 14:21 资料 个人空间 短消息 看全部作者 预备定理——欧拉公式：任一多面体的V+F-E=2，其中：V代表顶点数，F代表面数，E代表棱数 设一个正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。 由每两面共用一条棱可知F（面数）×n=2E（棱数） 同理，V（顶点数）×m=2E 整理得F=2E/n, V=2E/m； 代入欧拉公式得到：2E/m+2E/n-E=2  =>  1/m+1/n=1/2+1/E. 显然1/E>0，所以1/m+1/n>1/2，故而m,n不能同时大于3（1/4+1/4=1/2）。 另一方面，由于m和n的意义可知，n≥3（至少是正三角形），m≥3（一个顶点至少有3条棱），因此m和n至少有一个等于3 若m=3，则1/n>1/2-1/3=1/6  =>  n<6，n又是正整数，故n=3，4或5； 若n=3，同理，m=3，4或5。 综上所述： 类型        面数F        棱数E        顶点数V        n        m 正4面体        4        6        4        3        3 正6面体        6        12        8        4        3 正8面体        8        12        6        3        4 正12面体        12        30        20        5        3 正20面体        20        30        12        3        5 基本上照抄高中课本 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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