为何正多面体只有五种？ - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2010-9-4 22:55 资料个人空间短消息只看该作者

为何正多面体只有五种？

“正多面体的种数很少，正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种”

还是刚刚Google的，怎么证明不存在正五面体？扩展一下，二十面体以上就不可能存在正多面体了，为什么呢？

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#2

发表于 2010-9-4 22:57 资料主页个人空间短消息只看该作者

足球是多少面体？

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#3

发表于 2010-9-4 23:11 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 火狐天下 于 2010-9-4 22:57 发表
足球是多少面体？

应该能划分成正三十二面体，比二十大了

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#4

发表于 2010-9-4 23:14 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 炎帝瀑布碎 于 2010-9-4 23:11 发表

应该能划分成正三十二面体，比二十大了

足球是五边形和六边形组成的，不是正多面体

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#5

发表于 2010-9-4 23:30 资料短消息只看该作者

高中课本里面有，自己去查。不过是老版教材。

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#6

发表于 2010-9-5 11:11 资料文集短消息只看该作者

高中数学老师说过，正多面体只有这五种，而且已经被证明了。具体怎么证明的没说，应该是超出高中范围了吧。

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#7

发表于 2010-9-5 14:21 资料个人空间短消息只看该作者

预备定理——欧拉公式：任一多面体的V+F-E=2，其中：V代表顶点数，F代表面数，E代表棱数
设一个正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。
由每两面共用一条棱可知F（面数）×n=2E（棱数）
同理，V（顶点数）×m=2E
整理得F=2E/n, V=2E/m；
代入欧拉公式得到：2E/m+2E/n-E=2 => 1/m+1/n=1/2+1/E.
显然1/E>0，所以1/m+1/n>1/2，故而m,n不能同时大于3（1/4+1/4=1/2）。
另一方面，由于m和n的意义可知，n≥3（至少是正三角形），m≥3（一个顶点至少有3条棱），因此m和n至少有一个等于3
若m=3，则1/n>1/2-1/3=1/6 => n<6，n又是正整数，故n=3，4或5；
若n=3，同理，m=3，4或5。
综上所述：
类型面数F 棱数E 顶点数V n m
正4面体 4 6 4 3 3
正6面体 6 12 8 4 3
正8面体 8 12 6 3 4
正12面体 12 30 20 5 3
正20面体 20 30 12 3 5
基本上照抄高中课本

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#8

发表于 2010-9-6 13:24 资料短消息只看该作者

回复 #9 3_141592653589 的帖子

完全正确，这个就是从欧拉公式来的。

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#9

发表于 2010-9-6 21:45 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 3_141592653589 于 2010-9-5 14:21 发表
预备定理——欧拉公式：任一多面体的V+F-E=2，其中：V代表顶点数，F代表面数，E代表棱数
设一个正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。
由每两面共用一条棱可知F（面数）×n=2E（棱数）
同理，V（顶点 ...

我高中的时候怎么没听过这么个东西？奶们落伍了

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#10

发表于 2010-9-8 15:55 资料文集短消息只看该作者

欧拉公式又不是考点，高中看过就忘了正常的-_\\

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