帮助某些不合格教师科普一下三角知识 - 辕门射虎


	墨叶


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#31

发表于 2015-2-10 23:06 资料个人空间短消息只看该作者

再来解释为什么教科书用向量（前面说成余弦定理）来推导COS(P+Q）。
高中数学必修4，共3章依次为三角函数（同角三角函数和诱导公式）、平面向量、三角恒等变化。
用平面向量推导COS(P+Q）是比较合适的。

而且COS(P+Q）的推导从来不是重点考点。上课一笔带过，复习一笔都不提怎么来的。
三角函数的重点后续公式的推导和应用。

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	墨叶


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#32

发表于 2015-2-10 23:07 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #28 穎穎的帖子

我不需要比你快，只要不满方便学生接受就行了。

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	墨叶


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#33

发表于 2015-2-10 23:09 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 22:59 发表

不懂问题的本质，只会照本宣科，才是误人子弟！

为什么中国教育系统只会培养考试人才，就是你这样的老师太多了！

只会用欧拉公式也是照本宣科。

浙江高考不考导数就是因为题太死容易照本宣科。
老师是否照本宣科也要看高考的。
教育体系培养什么样的人才，主要看大学需要什么样的“人才”。

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#34

发表于 2015-2-10 23:13 资料短消息只看该作者

买一送一，不小心把余弦定理顺带证了

4, 由于 cos(x) = sin(x+pi/2), 故存在 r 使得 cos(q+r) = sin(p)。

Acos(q+r) + Bcos(q) = Re(A exp(iq) exp(ir) + B exp(iq))
= Re((A exp(ir) + B ) exp(iq))
= C cos(q+s)
其中
C = sqrt((A cos(r) + B )^2 + (A sin(r) + B )^2) <------ (复数的绝对值)
= sqrt(A^2 + B^2 + 2cos(r))
s = arctan((A sin(r) + B )/(A cos(r) + B )) <------- 对 exp(iq) 的修正角 = 复数的 argument= arctan(虚数部分/实数部分)

---------------------------

自己出的题，反把自己坑了，您请！

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:48 编辑 ]

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#35

发表于 2015-2-10 23:20 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:51 发表
你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN((P/2+Q/2)+(P/2-Q/2))+SIN((P/2+Q/2)-(P/2-Q/2))=...=SIN(P/2+Q/2)cos(P/2-Q/2)。
中间太长省略。

这也叫推么？无语！

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#36

发表于 2015-2-10 23:32 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #35 穎穎的帖子

诶，那我就写完整点。这个打公式太麻烦了。
令C=(A^2+B^2)^1/2，tanR=B/A
Asinp+BcosP=C(A/Csinp+B/Ccosp)=C(cosRsinp+sinRcosp)=Csin(p+R)

令A=P/2+Q/2，B=p/2-q/2
sinp+sinq=SIN(A+ b )+SIN(A- b )=SINACOSB+COSASINB+SINACOSB-COSBSINA=2SINAcosB。

就是长点，打字麻烦点而已。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 23:36 编辑 ]

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#37

发表于 2015-2-10 23:42 资料短消息只看该作者

回复 #36 墨叶的帖子

第四题还是没做出来啊

P.S. 不带半路改题的

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 23:46 编辑 ]

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#38

发表于 2015-2-10 23:58 资料短消息只看该作者

买一送一

exp(ip) + exp(iq) = exp(i((p+q)/2+(p-q)/2))+exp(i((p+q)/2 - (p-q)/2))
= exp(i(p+q)/2)(exp(i(p-q)/2) + exp(i(p-q)/2))
= (cos((p+q)/2)+i sin((p+q)/2)) 2cos((p-q)/2)
虚数部分：sin(p)+sin(q)=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
实数部分：cos(p)+cos(q)=2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)

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#39

发表于 2015-2-11 00:16 资料短消息只看该作者

再买一送一

exp(i(p+q)) - exp(i(p-q))
= exp(ip)(exp(iq) - exp(-iq))
= exp(ip)(2i sin(q))
虚数部分：2sin(p)cos(q)=sin(p+q)-sin(p-q)
实数部分：-2sin(p)sin(q)=sin(p+q)-sin(p-q)

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#40

发表于 2015-2-11 00:17 资料短消息只看该作者

回复 #38 穎穎的帖子

难得看见数学上的练手。我是理论物理出身，数学也好过得去。
欧拉公式的伟大，就在于代数运算与三角关系之间的神级转化，确实欧拉公式解释三角关系和三角公式应用确实更本质。而且欧拉公式不仅是数学上极其神奇，它对于交变电磁场处理，复相量的分析，都有莫大的用处，也是泰勒展开和傅立叶展开中一个非常有用的启发，也是黎曼几何的根基。
所以，说欧拉公式，确实是更本质一点。
不过欧拉公式，对于理科精研之人，确实是简洁有力。但对于中学阶段，停留在二次数学处理技巧的学生而言，无疑是抽象的。这也就是三角比的学习需要从新定义的一种教法。
其实三角比教学历来有非常多的教法，除了传统意义上的以外，还有平行四边形定义法等等。传统教法有其优越性和实用性，至于独立于见解，智慧于碰撞，倒是一个人在学科上的深度追求吧。
作为理学，我挺欧拉公式，同为老师，我还是支持由基本图形和单位圆去解说中学三角关系。

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#41

发表于 2015-2-11 00:31 资料短消息只看该作者

万能公式

用第三题结果，如果 tan(a/2)=t, tan(a) = 2t/(1-t^2)。由于 (1-t^2)^2+(2t)^2 = (1+t^2)^2，因此存在正角三角形边长为 2t, 1-t^2, 1+t^2. 其余显然。

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#42

发表于 2015-2-11 00:38 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 sznsy35 于 2015-2-11 00:17 发表
难得看见数学上的练手。我是理论物理出身，数学也好过得去。
欧拉公式的伟大，就在于代数运算与三角关系之间的神级转化，确实欧拉公式解释三角关系和三角公式应用确实更本质。而且欧拉公式不仅是数学上极其神奇 ...

欧拉公式的神奇，在于它可以完全独立于三角形几何体系（见本贴主楼），却包含了几乎所有三角函数的信息。在某种程度上，它可以使三角函数理论退几何化完全代数化。应用上便于计算，同时还能让我们研究比如说有限群上，拓扑群上的三角函数（其实也就是表示论了）。

说到中学教育，其实多砍点平面几何和传统三角，直接上复数才是最正确的教法。只可惜中国的一些渣渣老师们，一边骂教育体制只会培养考试高手，一边自己不思进取只会照本宣科。

看看第四题，他自己把题出错了就束手无策，所做的事情就是把题改回他课本上的模板，而不是迎风而上跟它拼了。这种老师教出的学生，估计也只能是考试高手了。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:02 编辑 ]

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#43

发表于 2015-2-11 01:01 资料短消息只看该作者

回复 #42 穎穎的帖子

这一点倒有点像，分析力学与经典力学的关系。
欧拉是可以纯解析三角问题，但三角问题确实还有其内在的几何意义，欧拉与复平面的结合也具有几何性质。
其实，中学数学教育又何止是几何多一点？它太注重奇技淫巧，太刻意系统化模式化的公式套路。学生只有平面几何的推演，只有直角坐标的视角，本身就是不对的。小学数学还在九章算术，中学还说那叫勾股定理，本身就是一种小局量。
能用欧拉公式，本身就不简单了，许多高中老师还是会介绍这个公式的。人是活的，书是死的。
但说回来，解释欧拉本身就不是一件容易的事，如果用欧拉还要级数展开，就牵扯更大。至于你说欧拉方便，是基于欧拉的应用了。其实高中的体制，是学会三角比，借助弧度制与三角形，免不了记忆，然后去解释三角函数的规律，完成六个基本初等函数的学习。所以，它是以三角比为基础，而这个基础，就是一定的强行巩固，这是体系所限。学生连三角函数的周期性和基本图形尚不清晰，三角比的公式多半也是为了实现理解上的过渡。
最后，牛叉的数学老师，就是永远求变，永远灵活的。沉迷思维体操，在于一直变化，这样的数学老师，中国还是多的是的。不可偏激。

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#44

发表于 2015-2-11 01:07 资料短消息只看该作者

回复 #43 sznsy35 的帖子

欧拉方便并非给予他的应用，而是因为它比三角函数本身更 fundamental。就好比你以月亮为中心去写太阳系的行星轨迹无比复杂，但如果以太阳为中心去写却简单很多。

不过仔细想想，欧拉公式的存在也是意料之中的。因为所有 (cos(t), sin(t)) 的解析点，都在单位圆上。而单位圆本身也是二元多项式 p(x,y)=x^2+y^2-1 的根（algebraic variety 的视角）。

因此，对于代数集合（多元多项式的根）的描述，终究还是会还原成代数，何况复数集合本身的严格定义，也是实系数多项式 p(x) 除以 1+x^2 的余数。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:25 编辑 ]

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#45

发表于 2015-2-11 01:28 资料文集短消息只看该作者

我倒是觉得，如果要讨论高中数学老师是否合格，那么考核范围就应该在现在的高中教学大纲。另外，稍微评价下楼主的语言风格吧，在汉语中夹杂一两句洋文，这个围城中那些假洋鬼子的做派，现在并不流行了。如果引用公式当然另当别论，但是 fundamenta这个词汉语中有其对应的词汇——基础，基本。

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#46

发表于 2015-2-11 01:34 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 xkjo 于 2015-2-11 01:28 发表
我倒是觉得，如果要讨论高中数学老师是否合格，那么考核范围就应该在现在的高中教学大纲。另外，稍微评价下楼主的语言风格吧，在汉语中夹杂一两句洋文，这个围城中那些假洋鬼子的做派，现在并不流行了。如果引用 ...

备案是 a sin p + b cos p，结果笔误打成 a sin p + b cos q, 差了一个字符立刻就不会做了。原来学生以后遇到的所有交流电问题，DSP 问题，都要指望老天爷都正好把 phase 角错开 pi/2 了。说实话，对这种表现我感到震惊！

P.S. 现在流行什么关我屁事？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-11 01:40 编辑 ]

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#47

发表于 2015-2-11 01:43 资料短消息只看该作者

追着喊着跟我叫板，说欧拉公式依赖于倍角公式。。。连这点基本常识都没有，当理科老师纯粹误人子弟。

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#48

发表于 2015-2-11 02:13 资料短消息只看该作者

还有，讲欧拉公式未必非要把级数讲透，就跟大一讲微积分不用讲勒比格测度一样。再说了，就是中学讲幂数的时候，也没有把级数讲透啊。

比如说，a^r （r 为无理数）中学是怎么教的？估计就一带而过吧？例如，a^(m/n) = b 等价于 a^m = b^n，m,n 整数，这是中学教过的。但当 r 不能写成 m/n 的时候呢？我们这时候还是需要以下等式。。。

exp(x) := lim_(n to infty) (1 + x/n)^n = 1+x+x^2/2!+...

这个等式感觉墨叶很陌生。但没有它，无理数还真当不了幂数。问题是无理数幂数和欧拉公式都依赖于一个公式，为什么一个老早就讲了，另一个就不能讲？还有，无理数当不了幂数，类似于 4^x + 2^x - 1 = 0 这种方程题，在逻辑上就纯属扯淡了。解出来一个无理数 x，4^x, 2^x 都有没有意义还不清楚呢。

[ 本帖最后由潁潁于 2015-2-11 03:36 编辑 ]

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	墨叶


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#49

发表于 2015-2-11 08:40 资料个人空间短消息只看该作者

自己立靶子很好玩吗？

我强调下我的观点：
1、以COS(A-B )为基础高中数学三角函数公式推导不难，学生不需要死记。
2、因为高考，需要需要记住所有三角公式。不限方式，可以死记，也可以通过推导领悟，也可以考试了再推导。只要会应用就行。
3、利用平面向量推导COS(A-B )很简单，过程没必要掌握。
4、利用欧拉公式推导三角函数并不比教科书的简单多少。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-11 10:07 编辑 ]

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#50

发表于 2015-2-11 10:10 资料短消息只看该作者

何谓误人子弟？楼主应该先搞清楚吧。
在现行制度下，高中教师要教的是让学生如何通过高考，做到了这个，就谈不上误人子弟。
为了所谓的不误人子弟，而最终导致学生考不上大学，这个老师还不被家长吃了？

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#51

发表于 2015-2-11 10:31 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 我·日 于 2015-2-11 10:10 发表
何谓误人子弟？楼主应该先搞清楚吧。
在现行制度下，高中教师要教的是让学生如何通过高考，做到了这个，就谈不上误人子弟。
为了所谓的不误人子弟，而最终导致学生考不上大学，这个老师还不被家长吃了？

如果天宫在本朝当中学教师，那就是一个误人子弟教师中的典型，她最好的结果就是放在教务处当个闲职。

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#52

发表于 2015-2-11 10:42 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 08:40 发表
自己立靶子很好玩吗？

我强调下我的观点：
1、以COS(A-B )为基础高中数学三角函数公式推导不难，学生不需要死记。
2、因为高考，需要需要记住所有三角公式。不限方式，可以死记，也可以通过推导领悟，也可 ...

得了吧，脸都肿成这样了，还继续嘴硬！
1，你一次推一个，我一次推两个。
2，你那法子僵硬的很，稍微换一下题就杯具了。

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#53

发表于 2015-2-11 10:44 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 我·日 于 2015-2-11 10:10 发表
何谓误人子弟？楼主应该先搞清楚吧。
在现行制度下，高中教师要教的是让学生如何通过高考，做到了这个，就谈不上误人子弟。
为了所谓的不误人子弟，而最终导致学生考不上大学，这个老师还不被家长吃了？

退一步讲，学生的一生也不仅仅是一次高考。那些学完全还给老师现象，很大程度就是墨叶这种水平不高，不负责任的老师造成的。

再退一步讲，很多细节即便老师课堂上不主动讲，作为备用知识还是需要知道的，万一学生问了也不至于答错。比如说无理数当幂数的问题，那个较真点的学生问了，墨叶这种水平的老师肯定傻眼。

[ 本帖最后由潁潁于 2015-2-11 10:49 编辑 ]

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#54

发表于 2015-2-11 10:48 资料个人空间短消息只看该作者

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原帖由潁潁于 2015-2-11 10:44 发表
退一步讲，学生的一生也不仅仅是一次高考。那些学完全还给老师现象，很大程度就是墨叶这种水平不高，不负责任的老师造成的。

课堂上需要让大部分学生都学到知识。
那些条件好可以课外自学。

不敢兴趣的以后不用的必然会有遗忘。与老师无关。
大学都不用高中的知识，能怪谁？

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#55

发表于 2015-2-11 10:50 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-11 10:48 发表

课堂上需要让大部分学生都学到知识。
那些条件好可以课外自学。

不敢兴趣的以后不用的必然会有遗忘。与老师无关。
大学都不用高中的知识，能怪谁？

我说的就是让大部分学生都学到知识，而不是仅仅通过一次考试。感不感兴趣也是和老师教的有关。。。

[ 本帖最后由潁潁于 2015-2-11 10:51 编辑 ]

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#56

发表于 2015-2-11 10:51 资料个人空间短消息只看该作者

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原帖由潁潁于 2015-2-11 10:42 发表

得了吧，脸都肿成这样了，还继续嘴硬！
1，你一次推一个，我一次推两个。
2，你那法子僵硬的很，稍微换一下题就杯具了。

一次推几个没意义，学生要应付高考还是要记公式的。

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#57

发表于 2015-2-11 10:53 资料短消息只看该作者

回复 #56 墨叶的帖子

退一步说，就算纯粹为了应付考试，万一临场忘了呢？正负号背错一个呢？或者考题出变招呢？

[ 本帖最后由潁潁于 2015-2-11 10:56 编辑 ]

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#58

发表于 2015-2-11 10:57 资料文集短消息只看该作者

回复 #46 穎穎的帖子

我倒是觉得，一方面借鄙视美国体现自己爱国，另一方面却又在汉语行文中穿插一些不常用的英语单词来体现自己的高明，这种做法也蛮令人费解的。

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#59

发表于 2015-2-11 10:59 资料短消息只看该作者

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原帖由 xkjo 于 2015-2-11 10:57 发表
我倒是觉得，一方面借鄙视美国体现自己爱国，另一方面却又在汉语行文中穿插一些不常用的英语单词来体现自己的高明，这种做法也蛮令人费解的。

又见连主楼命题都看不懂的进来出丑。

你们想帮墨叶可以啊，快帮他想想怎么做他自己出的第四题。

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	墨叶


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#60

发表于 2015-2-11 11:00 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 10:50 发表

我说的就是让大部分学生都学到知识，而不是仅仅通过一次考试。感不感兴趣也是和老师教的有关。。。

能应付复杂的公式，面对复杂的问题能找出头绪。这是学三角函数的一个作用。
掌握三角函数的相互推导，并加以应用，也是学习的一种成果。
三角函数本身有什么用价值并不高，高考后不需要的忘了也无妨。文科生高考要考数学，以后未必需要。
当然学的好的学生，能用逻辑记忆掌握三角函数的，即使好久不用忘了，需要的时候也能很快掌握。

高一有9门课，不需要每个学生都对数学有兴趣。很多学生掌握必要的内容应付考试更重要些。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-11 11:02 编辑 ]

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