<font color="red">【讨论】</font>一个小学五年级的行程问题 - 辕门射虎


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#1

发表于 2004-11-9 15:36 资料短消息只看该作者

第一次在这里发问题，很简单的~~
甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，第一次相遇时乙离B地50公里；两人继续行走，到达目的地后返回；第二次相遇时甲离A地42公里。问两次相遇点之间的距离有多远。
书生很穷，答对了也没奖励哦！

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	人在江湖


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#2

发表于 2004-11-11 22:32 资料主页个人空间短消息只看该作者

4公里么?

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#3

发表于 2004-11-11 23:04 资料主页文集短消息只看该作者

取个平方,16公里么

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	依依

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#4

发表于 2004-11-12 18:53 资料主页短消息只看该作者

16 的说

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	公瑾

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#5

发表于 2004-11-13 17:28 资料主页文集短消息只看该作者

16吧~~
列4各方程式就可以了，设AB相距L，第一次相遇为t1，第二次为t2，两人速度为Va,Vb。
L-50=t1*Va
50=t1*Vb
2L-42=t2*Va
L+42=t2*Vb

可得，
L=108
再量一下，就知道了，应该是16

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	天意

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#6

发表于 2004-11-13 18:59 资料主页短消息只看该作者

8公里,这是个骗人的题目

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	天意

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#7

发表于 2004-11-13 19:15 资料主页短消息只看该作者

不好意思,看错了,是16公里

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	i smile 1111

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#8

发表于 2004-11-13 20:13 资料主页文集短消息只看该作者

按照小学生的思路来看,恐怕不愿意列出由4个方程组成的方程组
倒是相当可能列出一个等号两边都是速度比(路程比)的方程.当然解起来都差不多.

当时是什么思路?能用方程解决的问题也想直接做出来.那时的竞赛好象也都是这些东西.

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#9

发表于 2004-11-14 17:16 资料主页文集短消息只看该作者

好题楼上诸位漏解了

首先讨论对相遇的定义：
1。两人到达同一地点且方向相反
2。两人到达同一地点

令A,B两地路程为s 甲乙速度分别为Va Vb
从开始到第一次和第二次相遇所经历的时间分别为t1=s/(va+vb)和t2

先说1的情况：
（1）大家讨论的是甲乙各完成1个单程以后在完成第2个单程以前发生第二次相遇的情况
t1*vb=50
t2*vb=s+42(或 t1*va=s-50 t2*va=2s-42)
根据（1）的情况 t2=3s/(va+vb)=3t1
即s+42=50*3=>s=108
第一次相遇点距A=108-50=58 58-42=16

（2）假设甲的速度很慢到第二次相遇只走了42公里而乙完成1次往返后再从b出发与甲相遇
  t1*vb=50
t2*vb=3s-42
t2=3t1=>3s-42=150=>s=64
64-50=14 距离d=42-14=28

（3）假设乙的速度很慢到第二次相遇只走了s-42公里甲完成1次往返后从a出发与乙相遇
  t1*vb=50
t2*vb=s-42
t2=3t1=>s-42=50*3=>s=100+92
距离d=100+92-50-42=100

下面讨论2.-1.的情况：
即是说两人到达同一地点且方向相同视为相遇
（1）乙完成1个单程后追上甲
   t1*vb=50
   t2*vb=s+42
   t2=[(s+42)+42]/(va+vb)=[(s+84)/s]t1=>
   s+42=(s+84)/s*50=>s^2-8s-50*84=0=>s=4+2*1054^(1/2)>50
   距离d=|s-50-42|

（2）甲完成1个单程后追上乙
t1*vb=50
   t2*vb=s-42
   t2=[s+(s-42)*2]/(va+vb)=(3s-84)t1=>
   s-42=(3s-84)*50=>s=4158/149约=27.906<50
   无解

综上所述该题共有四解分别为16 28 100 88-2*1054^(1/2)

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	士风

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#10

发表于 2004-11-14 18:16 资料短消息只看该作者

AB之间距离 S＝50×3－42＝108
相遇点距离 D＝108－50－42＝16

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	幽浪

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#11

发表于 2004-11-14 18:28 资料主页个人空间短消息只看该作者

隐含的条件太多了。
甲的目的地可能是B，也许是大于B或小于B。这都符合相向而行的条件。
同样乙的目的地也类同。

AB距离不一定。
甲乙速度不定。

哪么可设：甲乙分度有速度VA，VB所到目的距离LA，LB两点AB的距离为L

晕了

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#12

发表于 2004-11-14 18:52 资料主页文集短消息只看该作者

不好意思算错了是4解

小弟的解法2（1）用到了1元二次方程
其他情况只用到了加减乘除不知书生兄给学生是怎么讲的？

最好能给出标准答案还有就是请书生兄到新闻中心领奖

说说我对分情况讨论的思考：
1。两次相遇地点不一样=>甲乙速度不一样；
2。甲乙速度不一样=>必有人先到达（完成一个单程）他的速度较快
3。快的人开始返回慢的人还在路上
4。快的人可能追上慢的人发生第二次相遇
5。快的人追不上慢的人慢的人折返后发生第二次相遇

4*。迎面碰见视为相遇快的人在完成1次往返后再回头发生相遇

不存在其他情况

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#13

发表于 2004-11-15 12:52 资料主页文集短消息只看该作者

两人继续行走，到达目的地后返回；

如果没有这句话,就真得像青木兄那么算了

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	幽浪

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#14

发表于 2004-11-15 17:49 资料主页个人空间短消息只看该作者

注意：A、B两点不一定是乙、甲的目的地!

宣布:这老师不是出错题,就是自己都搞错。

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#15

发表于 2004-11-15 21:05 资料文集短消息只看该作者

各位领导，各位同志：
大家好！
潜水日久，身心舒畅。见轩辕兴旺，英才辈出，甚喜。
但是，看到这贴，实在是有点潜不下去了。
试问，一个小学5年级的学生，没必要有那么复杂的方程吧。
故此，我用算术法（好象以前就是这么称呼的）推算如下：

A_____D________C_________B

设第一次相遇于C，第二次相遇于D，由题意得BC=50，AD=42。
因AD小于BC，可知甲快于乙。
第一次相遇：甲走的路为AD+DC=42+CD，乙走的路为BC=50，和为AB（即总长）
从第一次相遇到第二次相遇：甲走的路为CB+BC+CD=50+50+CD，乙走的路为CD+DA+AD=42+42+CD，两者相减为16，即甲比乙多走了16公里。那么从第一次相遇到第二次相遇的和呢，是2AB。
所以，当双方一共走2AB的路的情况下，甲比乙多走16公里。
那么，单走AB，甲多走8公里，即AD+DC=BC+8，即42+CD=50+8
CD=16，总长108。

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#16

发表于 2004-11-15 23:25 资料主页文集短消息只看该作者

原来一望河山是围棋高手数学想必不错欢迎欢迎
你的图解法很生动连乘除都省了属于小学3年级能接受的解法
不过请问图中d,c两点的左右关系是根据什么确定的？

QUOTE:

那么从第一次相遇到第二次相遇的和呢，是2AB

这句默认了甲，乙两人各完成1个单程在折返途中相遇即我所说的1（1）情况：

1，2次相遇甲乙所走总路程分别为s,3s 因此时间为t,3t 因此乙走的总路程2次是1次的3倍
有 s+42=50*3=>s=108=>d=16
这么说该不复杂吧

从这道题的题意来说默认只有迎面到达ab间1点视为相遇且甲乙完成1个往返后停止才是小学生所求解的
我列出这么多种情况只是想引发大家思考如果只是做出来相信诸位都有办法

不过一望河山的解法很新颖我很欣赏因此送出红包万望笑纳

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	一望河山

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#17

发表于 2004-11-16 08:50 资料文集短消息只看该作者

围棋高手也不敢当无双吕布才是大高手。

我只是用小学思考法确定了CD两点间的关系：）因AD小，则甲快于乙，甲走的路必然多，故CD间距离为正。

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	一介书生

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#18

发表于 2004-11-16 13:23 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由一望河山于2004-11-15, 21:05:35发表
各位领导，各位同志：
大家好！
潜水日久，身心舒畅。见轩辕兴旺，英才辈出，甚喜。
但是，看到这贴，实在是有点潜不下去了。
试问，一个小学5年级的学生，没必要有那么复杂的方程吧。
故此，我用算术法（好象以前就是这么称呼的）推算如下：

A_____D________C_________B

设第一次相遇于C，第二次相遇于D，由题意得BC=50，AD=42。
因AD小于BC，可知甲快于乙。
第一次相遇：甲走的路为AD+DC=42+CD，乙走的路为BC=50，和为AB（即总长）
从第一次相遇到第二次相遇：甲走的路为CB+BC+CD=50+50+CD，乙走的路为CD+DA+AD=42+42+CD，两者相减为16，即甲比乙多走了16公里。那么从第一次相遇到第二次相遇的和呢，是2AB。
所以，当双方一共走2AB的路的情况下，甲比乙多走16公里。
那么，单走AB，甲多走8公里，即AD+DC=BC+8，即42+CD=50+8
CD=16，总长108。

我的学生的解答方法基本和上面的一致。

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	一介书生

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#19

发表于 2004-11-16 13:45 资料短消息只看该作者

当然这个问题正如大家讨论的一样，没有确定两者的目的地，所以很难以思考，至少我搞不懂。但原题是有的：也就是甲的目的地是B，乙的目的地是A。
不过我没有戏弄大家的意思，因为我们办公室对这个问题讨论了很久，
——如果把目的地不明确，这个问题是否能够量化？？？？？？
个人感觉：这个问题的思考与总路程的范围有很大的关系——
条件1、总路程不小于50
2、因为有到达目的地后返回，第二相遇应是应面，而不是追上
3、两者速度在过程中视为不变
（1）总路程必定大于50
（2）如果两者速度相同（此时总路程为100），显然两次相遇之间相隔8，不管目的地在何处。
（3）甲乙速度不等，若甲快乙慢，总路程大于100；若甲慢乙快，则50<总路程<100。~~~~~~~能力有限，量化不出。

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#20

发表于 2004-11-16 15:56 资料主页文集短消息只看该作者

感觉书生兄的头像很像我的小学数学老师请问是哪里的啊？我以前可是他的爱将

那么学生帮您看一下

QUOTE:

（2）如果两者速度相同（此时总路程为82），显然两次相遇之间相隔8，不管目的地在何处。

速度相同相遇点始终在中间吧

先说条件：
条件一：

QUOTE:

——如果把目的地不明确，这个问题是否能够量化？？？？？？

条件二：

QUOTE:

2、因为有到达目的地后返回，第二相遇应是应面，而不是追上

条件一对条件二已无意义都到达目的地后返回才相遇肯定都只完成一个单程就要应面因为限定了是第二次相遇所以后面走不走无所谓了

QUOTE:

（3）甲乙速度不等，若甲快乙慢，总路程大于82；若甲慢乙快，则50<总路程<82。

甲慢乙快 1到2此间分别完成路程 50+(s-42)=s+8 (s-50)+42=s-8 怎么会慢的走的多呢？矛盾不成立所以只可能甲快乙慢

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	一介书生

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#21

发表于 2004-11-17 11:42 资料短消息只看该作者

我是四川成都的。回楼上“速度相同相遇点始终在中间吧“
目的地当然有拉，我说的不明确的意思是目的地的位置可以在AB的任何一个地点。A————C————B
此时：速度相等时，第一次和第二相遇的地点是可以为8，而不是始终在中间，那只是甲乙目的地分别为B、A的结果。
由速度相等可知，第一次相遇甲乙走的路程相等，则总路程为100，由第二次相遇甲离A 处42显然有两次相遇点的距离为8。
此时，设甲的目的地离中点（即C点处）的距离为X，乙的目的地离中点为Y，由从第一次相遇到第二次相遇甲乙走的路程相等（时间速度一样）得方程2x-8=2y+8，化简得x=y+8。也就是说，只要甲的目的地离中点比乙的目的地离中点的距离多出8，就可以做到第二次相遇甲离A处42了。
当然X、Y是有取值范围的~~~~~~

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#22

发表于 2004-11-17 20:03 资料主页文集短消息只看该作者

书生兄怎么不回我短信呢？

QUOTE:

（3）甲乙速度不等，若甲快乙慢，总路程大于100；若甲慢乙快，则50<总路程<100。~~~~~~~能力有限，量化不出。

我来尝试一下：

甲快乙慢 va>vb s>100
A__y_2_1_x__B

分别为A 乙的目的地y 第二次相遇点 A2=42 第一次相遇点 B1=50 甲的目的地x B

t1*vb=50
t2*vb=By+42-Ay

速度和为va+vb 用总路程量化时间
t1=s t2=By+(42-Ay)+Ax+(Ax-42)

成比例 (By-Ay+2Ax)/s=(By-Ay+42)/50 化简得
1+2xy/s=(By-Ay+42)/50

进一步化简得
s^2-(2Ay+8)s-100xy=0
=>s=Ay+4+[(Ay+4)^2+100xy]^(1/2)<42+4+(46^2+100xy)^(1/2)
<=46+(46^2+100s)^(1/2)
即s<46+(46^2+100s)^(1/2)=>s<192

故甲快乙慢时有 100<s<192

甲慢乙快我有时间再讨论

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	幽浪

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#23

发表于 2004-11-17 21:51 资料主页个人空间短消息只看该作者

要注意。人不是汽车的说。
给他个时速0~20公里就得了：(

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	幽浪

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#24

发表于 2004-11-17 21:52 资料主页个人空间短消息只看该作者

因为速度的范围是可以求出的。

谁提供资料。今年奥运，竞走冠军的时速是多少？

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	幽浪

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#25

发表于 2004-11-17 22:04 资料主页个人空间短消息只看该作者

即然大家这么认真，我也认真的归纳一下隐含条件。
1、人的速度有限。所以有范围值。但每个人的速度可以不同。
2、目的距离未定，但甲的目的E应在AB的延长线上或在AB之内，在AB内则E点距B小于50KM。乙的目的F在直线BA的延长线上或在BA之内则距F距A点应小于42公里。
3、第一次相遇，B走了50公里。

先找找条件吧。暂时发现只有这么多。

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	一介书生

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#26

发表于 2004-11-18 10:37 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青木风亮于2004-11-17, 20:03:24发表
书生兄怎么不回我短信呢？

我来尝试一下：

甲快乙慢 va>vb s>100
A__y_2_1_x__B

分别为A 乙的目的地y 第二次相遇点 A2=42 第一次相遇点 B1=50 甲的目的地x B

t1*vb=50
t2*vb=By+42-Ay

速度和为va+vb 用总路程量化时间
t1=s t2=By+(42-Ay)+Ax+(Ax-42)

成比例 (By-Ay+2Ax)/s=(By-Ay+42)/50 化简得
1+2xy/s=(By-Ay+42)/50

进一步化简得
s^2-(2Ay+8)s-100xy=0
=>s=Ay+4+[(Ay+4)^2+100xy]^(1/2)<42+4+(46^2+100xy)^(1/2)
<=46+(46^2+100s)^(1/2)
即s<46+(46^2+100s)^(1/2)=>s<192

故甲快乙慢时有 100<s<192

甲慢乙快我有时间再讨论

对不起哈~~~~没注意到老兄的短消息。
解决了路程范围后~~~~下一步就是要解决两者目的地的
关系了，最终目的将问题中的距离细细的量化~~~~
不知道这有没有可能哦？？？？？

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	幽浪

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#27

发表于 2004-11-18 12:12 资料主页个人空间短消息只看该作者

量化的结果估计就不能做应用题了。

和和

向学生老实承认出题不严谨吧。

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#28

发表于 2004-11-18 12:13 资料主页个人空间短消息只看该作者

出现的情况是可以举穷的。
所以肯定可以量化！

再说五年级的水平问题。现在奥数满地是和咱们当年不同了。
当年是个别做尖子培养，五年级一般有高中方程能力了。

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#29

发表于 2004-11-19 09:56 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由幽浪于2004-11-18, 12:12:04发表
量化的结果估计就不能做应用题了。

和和

向学生老实承认出题不严谨吧。

当然这个问题正如大家讨论的一样，没有确定两者的目的地，所以很难以思考，至少我搞不懂。但原题是有的：也就是甲的目的地是B，乙的目的地是A。
不过我没有戏弄大家的意思，因为我们办公室对这个问题讨论了很久，
——如果把目的地不明确，这个问题是否能够量化？？？？？？

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#30

发表于 2004-11-19 21:36 资料主页个人空间短消息只看该作者

应该可以。有一个条件很重要。

甲在走到距B点五十公里时　
甲走了的距离＝甲速度×50÷乙速度
AB距离＝甲速度×50÷乙速度＋50

然后再举穷吧。合乎这个数据关系的都算。

然后应该就是条件方程，多解：）

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