帮助某些不合格教师科普一下三角知识 - 辕门射虎


	墨叶


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#1

发表于 2015-2-10 19:33 资料个人空间短消息看全部作者

已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

这个高中就没学。

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#2

发表于 2015-2-10 19:40 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #3 穎穎的帖子

高中课本没学。
高中的导数非常简单，而且现在很多地方高中对导数又不做要求了。
比如浙江2015年就不考导数了。

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#3

发表于 2015-2-10 19:41 资料个人空间短消息看全部作者

另外，你说别人记公式，你还不是需要记exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
或 exp(ix) = cos(x) + i sin(x)。

如果都不记，你的推导速度未必更快。

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#4

发表于 2015-2-10 20:28 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #6 穎穎的帖子

现在高中（大部分，有些可能有例外）所有的三角函数公式都可以直接推导。其中初始公式COS(A-

是由余弦定理推导的。
其他公式都是可以由此公式推导。
并不比你说的方式难。而且这一章结尾有总结公式的相互推导。
现在高中的三角函数公式都非常简单容易推导，并不存在你所说的死记硬背。
你认为高中三角函数需要死记硬背只能说明你高中三角函数没学好。

不是多一个公式的问题，要理解欧拉公式就需要展开讲。
比如现在浙江取消导数，主要原因是大部分高中生对导数只会死记公式，高考题型也很单一。

欧拉公式可以不依赖任何三角知识就能推出来，如果推导过程超过高中生的理解能力，高中就没必要教。

后来我与你纠结欧拉公式的推导，是我欠考虑。
因为根本不需要考虑欧拉公式的推导与应用。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 20:30 编辑 ]

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#5

发表于 2015-2-10 20:35 资料个人空间短消息看全部作者

以浙江为例。
和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式都不要求了。
只有余弦和差、正弦和差、正切和差、倍角、正弦余弦的半角（其实就是倍角倒推）。

不知道那里存在难以推导必须要死记的公式。

一般我会要求学生死记正弦和、余弦和（或余弦差）的公式，因为这2个推导稍微麻烦点。

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#6

发表于 2015-2-10 20:41 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 20:27 发表

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，另一方面又鼓吹：用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。

也算一奇

学生的独立性与老师的因材施教也有关系。
对所有的学生都用同一个标准的必然不是好老师。

现在中国高中已经是偏难。尽量不要用课外的知识给学生增加负担。

现在的三角函数公式已经少很多简单很多，还有学生不能推导。
这很正常，因为有些人就不擅长数学。让他们死记几个公式也合理。
如果没有推导能力，也缺乏高效率的记忆能力。高考就没必要去参加了，混混毕业拉倒。

你在不了解现在高中三角函数公式的具体情况下，盲目指责是不对的。

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#7

发表于 2015-2-10 20:45 资料个人空间短消息看全部作者

“和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式

-----------------

以上几个公式, 根本上都是来自于 e^(i x) = cos(x) + i sin(x) 这一个公式.

例如倍角公式, e^(i nx) = cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x))^n

其实就是一个简单的代数展开+合并同类项, 真的不理解为什么中学课本上要讲那么复杂.”

这个是你的原话。
如果你知道现在高中(已经除了和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式）的推导是多么简单，就不会说这样外行的话。
就算是以前，全国教材统一的时候，也是没有学导数的。
那时候确实要记得三角函数公式会多些，但是推导难度也不大。

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#8

发表于 2015-2-10 20:58 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #14 穎穎的帖子

你从哪里开始推导？

高中之后肯定要记些公式，记欧拉公式和余弦和差公式没有本质区别。

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#9

发表于 2015-2-10 21:03 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #19 穎穎的帖子

COS（A-

，高中这个算基本公式，其他都可以由此推导，当然开始学三角函数的时候会教。
从COS（A-

推导SIN(A+

当然简单。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 21:05 编辑 ]

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#10

发表于 2015-2-10 21:16 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #21 穎穎的帖子

我们不妨比一比，你用欧拉公式，我用余弦差的公式。
来推导高中数学的其他三角函数公式。
看谁的简单易懂。

现在高中的三角函数公式如下，重复的就不列了。这里用PQ代替AB。
sin(p+q)
tan (p+q)
sin2p cos2p tan2p
Asinp+Bcosq
sinp+sinq
cospsinq
万能公式(3个）
正切半角公式(3个公式）

可以各自在WORD上弄好，截图比较。

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#11

发表于 2015-2-10 21:40 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #23 穎穎的帖子

没问题。

sin(p+q)=cos(π/2-p-q)
=cos(π/2-p)cosq+sin(π/2-p)sinq
=sinpcosq+sinqcosp

我说的重复是指下面这些。没必要浪费时间。
sin(p-q)=sin(p+(-q)=sinpcos(-q)+sinqcosp=sinpcosq-sinqcosp

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#12

发表于 2015-2-10 22:51 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #26 穎穎的帖子

你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN((P/2+Q/2)+(P/2-Q/2))+SIN((P/2+Q/2)-(P/2-Q/2))=...=SIN(P/2+Q/2)cos(P/2-Q/2)。
中间太长省略。

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#13

发表于 2015-2-10 22:53 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 21:00 发表
你不是说能轻松推出 sin(a+b) 么？

说真的，你拿欧拉公式给学生们推一次，他们会感谢你的。

不看学生的具体情况，只会用自己的一套强行让学生接受，并不是合格的教学方式。

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#14

发表于 2015-2-10 23:06 资料个人空间短消息看全部作者

再来解释为什么教科书用向量（前面说成余弦定理）来推导COS(P+Q）。
高中数学必修4，共3章依次为三角函数（同角三角函数和诱导公式）、平面向量、三角恒等变化。
用平面向量推导COS(P+Q）是比较合适的。

而且COS(P+Q）的推导从来不是重点考点。上课一笔带过，复习一笔都不提怎么来的。
三角函数的重点后续公式的推导和应用。

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#15

发表于 2015-2-10 23:07 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #28 穎穎的帖子

我不需要比你快，只要不满方便学生接受就行了。

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#16

发表于 2015-2-10 23:09 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 22:59 发表

不懂问题的本质，只会照本宣科，才是误人子弟！

为什么中国教育系统只会培养考试人才，就是你这样的老师太多了！

只会用欧拉公式也是照本宣科。

浙江高考不考导数就是因为题太死容易照本宣科。
老师是否照本宣科也要看高考的。
教育体系培养什么样的人才，主要看大学需要什么样的“人才”。

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#17

发表于 2015-2-10 23:32 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #35 穎穎的帖子

诶，那我就写完整点。这个打公式太麻烦了。
令C=(A^2+B^2)^1/2，tanR=B/A
Asinp+BcosP=C(A/Csinp+B/Ccosp)=C(cosRsinp+sinRcosp)=Csin(p+R)

令A=P/2+Q/2，B=p/2-q/2
sinp+sinq=SIN(A+ b )+SIN(A- b )=SINACOSB+COSASINB+SINACOSB-COSBSINA=2SINAcosB。

就是长点，打字麻烦点而已。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 23:36 编辑 ]

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#18

发表于 2015-2-11 08:40 资料个人空间短消息看全部作者

自己立靶子很好玩吗？

我强调下我的观点：
1、以COS(A-B )为基础高中数学三角函数公式推导不难，学生不需要死记。
2、因为高考，需要需要记住所有三角公式。不限方式，可以死记，也可以通过推导领悟，也可以考试了再推导。只要会应用就行。
3、利用平面向量推导COS(A-B )很简单，过程没必要掌握。
4、利用欧拉公式推导三角函数并不比教科书的简单多少。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-11 10:07 编辑 ]

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#19

发表于 2015-2-11 10:48 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 10:44 发表
退一步讲，学生的一生也不仅仅是一次高考。那些学完全还给老师现象，很大程度就是墨叶这种水平不高，不负责任的老师造成的。

课堂上需要让大部分学生都学到知识。
那些条件好可以课外自学。

不敢兴趣的以后不用的必然会有遗忘。与老师无关。
大学都不用高中的知识，能怪谁？

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#20

发表于 2015-2-11 10:51 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 10:42 发表

得了吧，脸都肿成这样了，还继续嘴硬！
1，你一次推一个，我一次推两个。
2，你那法子僵硬的很，稍微换一下题就杯具了。

一次推几个没意义，学生要应付高考还是要记公式的。

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#21

发表于 2015-2-11 11:00 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 10:50 发表

我说的就是让大部分学生都学到知识，而不是仅仅通过一次考试。感不感兴趣也是和老师教的有关。。。

能应付复杂的公式，面对复杂的问题能找出头绪。这是学三角函数的一个作用。
掌握三角函数的相互推导，并加以应用，也是学习的一种成果。
三角函数本身有什么用价值并不高，高考后不需要的忘了也无妨。文科生高考要考数学，以后未必需要。
当然学的好的学生，能用逻辑记忆掌握三角函数的，即使好久不用忘了，需要的时候也能很快掌握。

高一有9门课，不需要每个学生都对数学有兴趣。很多学生掌握必要的内容应付考试更重要些。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-11 11:02 编辑 ]

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#22

发表于 2015-2-11 11:04 资料个人空间短消息看全部作者

教学的难点永远是那些基础差接受能力差的学生。
基础好的自学能力强的，不来上课都没关系。
所以教科书必须要兼顾中等水平的学生，成绩好的自学去。

这也是我支持奥数的一个原因。
奥赛可以让那些学有余力的同学提升能力，而不会被同班同学拉低水平。

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#23

发表于 2015-2-11 11:06 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由潁潁于 2015-2-11 11:02 发表
其实 48 楼已经说的很清楚了，欧拉公式和无理数幂数所需要的基础知识，其实是完全相同的。为什么无理数幂数就能教，到欧拉公式就说还得先教级数麻烦？

因为有理数幂很容易懂。无理数幂是合理延生，同时也给有些同学增加学习兴趣。

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#24

发表于 2015-2-11 11:11 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-11 11:06 发表
还是墨叶压根就没意识到无理数幂数有问题？哎，无语啊。。。

高中没有解答无理数幂，有兴趣的学生可以课外学习。没兴趣的不会去管这个。
这也是学习的一部分。

平面几何的公理，大部分学生也是直接接受的。有能力的课外自学，完全没问题。
教学过程中留些问题给学生是常态。额外的问题不强迫学生就行了。

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#25

发表于 2015-2-11 11:12 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-11 11:08 发表

知道交流电/DSP这些领域最主要的数学工具是什么么？

我没有否认欧拉公式。
有多少高中毕业生需要掌握交流电/DSP的？

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#26

发表于 2015-2-11 11:22 资料个人空间短消息看全部作者

一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

贴一段三角函数的教学目标。
如果都用欧拉公式推导，不掌握公式。如何能让学生掌握红字部分的能力。
三角函数的公式可以忘，“选择公式”的能力不会忘。

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#27

发表于 2015-2-11 11:31 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #77 穎穎的帖子

你从哪里看出机械的教了？

在教学过程都是引导学生推导公式的，成绩好的一般都能自己推导。

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#28

发表于 2015-2-11 11:34 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #77 穎穎的帖子

高考制度不改，老师先改成“素质”教育，只有死路一条。家长学生也不会接受。
自下向上改革比自上向下改革难得多。

高考有不合理之处，不等于现在的教学手段完全错误。

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#29

发表于 2015-2-11 11:37 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #79 穎穎的帖子

现在的教学手段能达成教育目标，所以现在的教学手段并没有问题。
如果你认为欧拉公式更适于用于三角函数的教学，也可以给一个对应的教学目标。

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#30

发表于 2015-2-11 11:38 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #79 穎穎的帖子

如果你认为高中学三角函数就是为了记几个公式，然后做几道题。未免小瞧教育局了。

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