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颖颖 (司徒家的颖颖) ★★ 组别 限制发言用户 级别 大将军 好贴 3 功绩 95 帖子 11332 编号 90594 注册 2006-11-9 来自 系统复制中心

#1 发表于 2006-11-9 23:06 资料 短消息 看全部作者 逻辑的漏洞就在于为什么一定要有结论？比如 Continuum hypothesis? [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#2 发表于 2006-11-14 12:51 资料 短消息 看全部作者 疯猫：逻辑就是个系统，仅此而已。你可以利用这个系统去寻找答案，但同时也要想清楚这个系统可以给你什么答案。比如 Continuum hypothesis 目前就是一个不能回答的问题，其实 Axiom of Choice 也可以算一个。（对不起我中文不好，这个术语的中文还真不知道） 说起 Axiom of choice，我倒可以举出一个比较形象的例子。在有限个集合上，很明显都会存在一个选择函数，使得我们可以从这些集合中的每一个集合，挑出一个元素出来。例如：你去吃火锅，从每个盘子上的食品都是一个集合，不同集合的元素不一样，有些是羊肉，有些是海鲜，有些是蔬菜。但你肯定可以从每一个盘子中挑出一个东西出来，放到锅里去涮。好，那么下一个问题是，对于任意集合 X，其中 X 的元素 X_a 全都是集合，我们是否可以从 X_a 中各自挑出一个元素出来？当 |X| = 无穷大的时候，我们会发现这个命题既不能肯定，也不能否定。也就是说，如果某个餐馆给你无穷多种食品让你涮着吃，我们不知道你是否可以从每个盘子里挑出一样东西出来。最后数学界把这个既不能肯定也不能否定的命题写成一个公理了，至今有一批 constructivists 还对这个公理及其不满。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2006-11-14 13:03 编辑 ] [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

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#3 发表于 2006-11-14 21:25 资料 短消息 看全部作者 中学对于极限的教育等于扯淡。大学本科一般也喜欢避重就轻，认为对实数上做个严密的定义就完事了。而对极限比较完善的定义（任意有序集合，任意拓扑空间上的定义），其实是需要网理论的。 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#4 发表于 2006-11-16 00:20 资料 短消息 看全部作者 1. Axiom of Choice是Axiom的原因并非在于无限集合，而是在于无法从其它Axiom中推论出来。 > 有限集合甚至可数集合的 Axiom of choice 都可以从别的 axiom 中推出来。这个公理的本质是针对无限集合而定的。 2. 函数在该点的数值与极限值可以无关，相等时则说在该点连续。 > 个人爱好，我更喜欢 f^{-1} (开集) 仍然是开集，则 f 连续的那个定义。我觉得连续性是拓扑性质，而拓扑学的根本在于开集。一味的依赖于实变函数，反而会忽略拓扑本质的结构。 一个函数 f : X → Y，X, Y 皆为拓扑空间，在 x 连续当且仅当对于每一个网 (x_α) 满足lim x_α = x，则 lim f(x_α) = f(x)，其中 lim 这里代表网收敛。注意，这个定理如果我们把网改成数列，一般来说它是不成立的（当 X 不是 first-countable 的时候会出麻烦）。 3. 谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？ > 一般来说，一个在拓扑空间上的网可能有大于一个极限。但只要 X 是 Hausdorff，那么网的极限只要存在就只有一个。反过来，如果 X 不是 Hausdorff，那么永远会存在一个网，有两个不同的极限。所以如果想把讨论升级到纯粹的拓扑空间中，那么仅仅靠实变函数那些是不够的。但现在的大学本科越来越喜欢让学生这么想。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#5 发表于 2006-11-20 00:11 资料 短消息 看全部作者 古漢魂: 1. 所谓拓扑学是橡皮几何，无非是说拓扑学中有一个 homeomorphic 的概念，把两个由一个连续函数连接的集合化作等价。而一个函数是否连续完全取决于空间的开集结构，所以我认为还是先有开集，后有橡皮几何。例如，X = 实数，开集 = <(a,b)>，Y = 实数，开集 = <[a,b)>，那么 F: X -> Y, F(x) = x 这个函数都不是连续的(原因: F^(-1)([a,b)) 关于 X 的拓扑结构不是开集，而 [a,b) 关于 Y 的拓扑结构是开集)。因此在两个不同的开集结构上，一个空间可能和自己都不同胚，与其说是橡皮几何还不如说是碎玻璃碴子几何呢。 2. Archimedean Axiom无效的话，我们将步入非典分析的领域 (non-standard analysis).   3. 数学除了拓扑之外，虽然也有很多门在谈论极限，但它们真正取极限的过程却是要 map 到一个拓扑空间去的（一般是实数）。因为极限的真正含义是从拓扑空间的开集中产生的：令 A 为一个 directed set, 对于每一个 neighbourhood N of x (in X - topological space)，都存在 a (in A) 使得对于所有 b >= a，有 x_b in N. 则，我们称 lim x_a = x. 不管是测度空间，还是非正数维空间(具体讨论见4)，它们想说任何极限概念，都要作出一个 map 把问题先 map 到一个拓扑空间，在那里去做该做的极限。 4. 所谓维这个概念我觉得更多的是个代数概念，而不是几何/拓扑概念。为什么这么说呢，因为用代数的概念去定义维非常简单，而在几何/拓扑上定义维则需要测度论中的概念。因为借助了“外界”思想，我觉得维这个概念本身并不属于几何。至于说非正数维空间，其实主要是说非正数的 Hausdorff dimension，也是一个测度论上的概念。在拓扑空间上最干净的维定义我觉得应该是 inductive dimension，这个只用到了拓扑空间本身的结构，但它貌似不能取非整数值。 5. 楼上的应该看看实数是怎么定义的... sqrt(2) 和 {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... } 的关系就很明朗了. [ 本帖最后由 颖颖 于 2006-11-20 00:48 编辑 ] [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#6 发表于 2006-11-20 00:32 资料 短消息 看全部作者 极限为1和1我总觉得是有区别的 --------------------------------------- 当然，如果你走出实数域的话，有可能会出现以下情况：例如，A = L^1_m (R ) = { f: R -> R | int_R f(x) dm(x) < inf }, 其中代数乘法定义为 (f*g) (x) = int_R f(y) g(x - y) dy. 这个代数系统中就没有 1 元素，但的确存在一个数列 f_n 使得 f_n ---> 1. 关于"1"的定义，1 是一个唯一的元素使得等式 f*1 = f, 对于所有 f in A 都成立。 这里要特别注意的是，1 是一个代数概念，它会跟随代数乘法的定义而变得。极限是一个拓扑概念，它会随着拓扑空间的开集结构而变。如果想构造出一个反例出来，那么最好的办法就是找出代数和拓扑两个概念不融合的情况。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2006-11-20 00:39 编辑 ] [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#7 发表于 2006-12-1 02:46 资料 短消息 看全部作者 Non-standard analysis (非典分析) 本来就没有用实数，而是实数的一个 super structure。 零吃掉information。来个无限缩小再无限放大会如何？- 非典分析中其实包括了严密的无穷小的处理，有兴趣的话可以看一些关于 hyperreals 的材料。 hyperreals 包括了一个元素 H = 无穷大，和 d = 1/H = 无穷小。 其实我说这些也没有别的意思，只是对大学本科课程把实数在分析领域中神圣化感到极其不满和误导而已。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2006-12-1 03:14 编辑 ] [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#8 发表于 2006-12-6 06:13 资料 短消息 看全部作者 在 R 上正确，在 *R 上不正确。我和古汉魂一直讨论的 Archemedes Axiom, Hausdorff 特征, 拓扑结构/网结构，等等都是在讨论这个问题。 [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

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#9 发表于 2007-1-2 19:01 资料 短消息 看全部作者 *R 里的无穷大和集合理论中的无穷大不是一个概念吧？比如说对于复数的 stereographic projection 中，无穷大只是球体上的一个点。这里，无穷大只是 *R 里面的一个元素，它本身也服从者 *R 的代数和分析运算法则。 我的 set theory 其实不是很扎实，但有一个问题一直困惑着我。比如说，在一个 Banach space 上，如果要测量一个元素的大小，我们可以用一个 norm, ||.|| : B -> R 来衡量。Cardinal numbers 的存在主要是为了来衡量集合的大小。具体地说，我们可以写出 |A| = x，其中 x 是一个 cardinal number （不同级别的无穷大似乎也只是在 cardinal number 中出现而已）。但这个 map |.| 的严格意义是什么？一个 range = cardinal numbers, domain = set of all sets （所有集合的集合） 的东西么？但 set of all sets 本身不是有着逻辑矛盾么？我相信这个问题应该被解决了吧，不过集合理论和基础数学我研究的并不是很多，一直没怎么读这方面的东西。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2007-1-2 19:14 编辑 ] [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

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#10 发表于 2007-1-9 07:56 资料 短消息 看全部作者 这个．．．有一点必须要先澄清，无穷大和各个等级的无穷带，这个概念不是一个客观概念，而是看你讨论的命题在哪个集合上。据我所知，只有讨论命题在 Cardinal numbers 的这个集合上，才会有不同等级的无穷大出现。在实数和复数上都没有无穷大这个概念，但实数有一个 extended reals (tex 指令是 \bar{\R}) 这个概念。\bar{\R} = R u {+/- 无穷}. 但由于 \bar{\R} 本身不是一个场，所以大多数的时候我们还只是用 R. 复数的无穷大这个概念不太好办，因为在一个 Argand diagram 上，无穷大的几何形状是一个无比大的大框。那么这个时候，柯西(?)就做出了 stereographic projection, 把 Argand diagram map 到一个球体上。这样就好了，无穷大在球体上就是一个点，确切地说是北极点。\bar{\C} 和 \bar{\R} 都有同一个问题，就是它们不是域，所以我们能在 C 上解决的问题，一般不上 \bar{\C}。 至于 hyperreals *R，无穷大和无穷小本身就是它的两个元素，而且 *R 可以被当作一个域来考虑。*R 的两个最大的问题就是： １．Archimedean axiom 被打破，从拓扑的角度上说，它不是一个 seperable space. ２．|*R| = 2^|R|. 它的 cardinality 比实数整整高了一个等级． 我之前提出 Banach space 只是在举例而已，因为 Banach space 上有一个测量大小的测度．关于集合我们也有一个测量大小的测度．只不过这个测度在 Banach space 上的 domain 很容易理解．但在后者，它的 domain 的逻辑定义就比较模糊了．Set of all needed sets... 这里面 needed 怎么解释？哎，没办法，我基础数学的确没多少，功底不是很扎实． [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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