标题: 函数问题, 最近讨论函数的人蛮多的嘛
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发表于 2010-4-27 20:58 资料 短消息 看全部作者
函数问题

1。已知 f(x) 为连续函数,且对任意实数 x,y 满足 f(x+y) = f(x) + f(y). 求所有满足以上条件的 f。
2。如果 f(x) 未必连续,求所有满足剩余条件的 f。


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发表于 2010-4-28 09:38 资料 短消息 看全部作者
回复 #1 颖颖 的帖子

1. 连续确实未必可以求导,以下是一个连续但无处可微函数:


给个提示,证明 f 处处可微分的时候,可以先证明 f 在 0 点可微。同时,由于 f 连续所以 f 必然处处可积分。因此,只要把 f 在 0 点写成一个关于某连续函数的积分即可。

2. 由于f(x)连续,f(x+y)=f(x)+f(y)意味着f(kx)=kf(x),k为有理数。。。这句话也不太理解。

3. 2 楼对第二部分的思路是对的,但 m 也不是可以随便选的。比如说,f(1 + pi) = f(1) + f(pi),那么假设 f(有理数) = m1x,f(有理数*pi) = m2x,那么 f(1+pi) 的斜率必然受到 m1 & m2 的限制,对么?


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发表于 2010-5-5 19:23 资料 短消息 看全部作者


QUOTE:
原帖由 muzhi 于 2010-4-28 18:17 发表
f(a+b*pi) = m1*a + m2*b*pi不就完了。。。

我怀疑第二部分跟实数域的结构有关,有熟悉抽象代数的同学么?

思路完全正确,而且在 f 不需要连续的时候,其解确实和实数结构有关,用到的是 field extension (域扩展)这个概念。即,如果 k 是一个域(域是所有能够加减乘除的一个代数结构,例如有理数,实数都是域,但整数不是,因为有些整数之间相除得出来不是整数),l 是 k 的子域(例如,有理数就是实数的子域),则商空间 k/l 是一个向量空间。由 Axiom of choice(选择公理),任何向量空间都有一个 basis(基)。也就是说,存在一个无理数数列 {x_i, i = 1,2,3,...} 使得任意实数 r 都能被写为: r = q0+q1.x1+q2.x2+... 其中 q_i, i = 0,1,2,... 皆为有理数。满足以上条件的数列 {x_i} 被称为 k/l 的 basis(基)。

然后可证明,
1, 简单部分:f(q0+q1.x1+q2.x2+...) = m0.q0 + m1.q1.x1 + m2.q2.x2+... (m 暂且称为斜率)
2, 复杂部分:从 Axiom of choice 只能得出 k/l 之基 x_i 的存在性,而不能得出此基的唯一性(事实上基也的确不唯一)。那么当 r 同时满足 r=q0+q1.x1+q2.x2+... 和 r=s0+s1.y1+s2.y2+... 的时候(y_i是 k/l 的另一个基,s_i 皆为有理数),如何确定 f(q0+q1.x1+q2.x2+... ) = f(s0+s1.y1+s2.y2+...)? 还是说这个条件会对一些斜率 m0, m1, m2, ... 有所限制?

注:有些数学家不喜欢在证明中用 Axiom of choice,因为这个公理以只保证存在性,而不能提供建设性构造而臭名远扬。因此,如何不用 Axiom of choice 的情况下来解此方程,则是数学界的一个未解之悬疑。

[ 本帖最后由 颖颖 于 2010-5-5 19:35 编辑 ]
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