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颖颖 (司徒家的颖颖) ★★ 组别 限制发言用户 级别 大将军 好贴 3 功绩 95 帖子 11332 编号 90594 注册 2006-11-9 来自 系统复制中心

#1 发表于 2010-4-26 12:48 资料 短消息 看全部作者 回复 #2 阿尔法孝直 的帖子 这个证明不严谨。没错，对于任何 t，都有 cos(t)=cos(t+2kπ)。但这并不能表明 cos(t) = cos(u) 则 t 和 u 之间一定就差 2π 的倍数。 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#2 发表于 2010-4-26 12:50 资料 短消息 看全部作者 回复 #3 dimeterio 的帖子 其实 cos(q), q 为有理数，也不是周期函数。不过这个证明起来比较麻烦，需要用到实分析理论。故，原题用 q=x/6，x 整数代替。 想进一步推广的话，q 属于 algebraic numbers 也行，总之 q 只要所属一个对于有理数的 Galois extension 是有限维的域就 OK。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-26 13:05 编辑 ] [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#3 发表于 2010-4-26 13:23 资料 短消息 看全部作者 回复 #10 阿尔法孝直 的帖子 ＋ 回复 #11 鹰派分子 的帖子 阿尔法孝直 10 楼的证明假设了：如果 cos(x), x 实数有一个周期为 2pi，就不可能有任何其它周期了。怎么说呢，10 楼这个证明不应该算错，因为假设命题本身（可以证明）是正确的，但我总觉得做此假设，有点本末倒置。。。 比如说，如果 t,u 一个是有理数，一个是无理数，就有可能存在一个 f 同时满足：对所有整数 k,m, f(x) = f(x+kt+mu). 但 cos(x) 这个函数比较特殊，它并没有这个特征，这一点我认为需要证明。 习题：以此类推，一个函数最多能有多少个不同的周期？ [ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-26 13:37 编辑 ] [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#4 发表于 2010-4-27 09:48 资料 短消息 看全部作者 回复 #14 阿尔法孝直 的帖子 不错，我想的也就是这个。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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#5 发表于 2010-4-28 17:08 资料 短消息 看全部作者 回复 #18 KYOKO 的帖子 这要看你的命题具体是怎么提的。。。如果是“在任何开区间 (a,b) 之间，都存在一个有理数 x 和无理数 y”的话。。。是的，你只要对 x, y 构造出一对例子就算证明了。 当然了，这个命题最强的推广是：在任何开区间 (a, b) 之间，所存在的有理数／无理数的数量，和有理数／无理数的总数一样多。 这个命题证明起来就会复杂一些，你需要构造一个双射函数，使得每个有理数／无理数，都能和 (a,b) 之间的一个有理数／无理数两两对应。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-28 17:12 编辑 ] [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#6 发表于 2010-4-28 21:38 资料 短消息 看全部作者 回复 #21 阿尔法孝直 的帖子 令 eps = b-a > 0，则只需证明该命题在 (0, eps) 这个区间成立。对于任意 eps > 0，都存在一个足够大的整数 N，使得 1/N < eps (例如，N = {1/eps}，这里 {x} = 大于或等于 x 的最小整数)。即，1/N 便是 (0, eps) 之间的一个有理数。由于 0<1/(N*pi) < 1/N< eps，则 1/(N*pi) 便是 (0, eps) 之间的一个无理数。 [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#7 发表于 2010-4-29 14:42 资料 短消息 看全部作者 回复 #23 KYOKO 的帖子 会部分积分法么？会的话，可证（习题）： 令 I_n = int_{-1}^1 (1-x^2)^n cos(a*x) dx 则： １，I_n*u^{2n+1}  = n! (P_n (u) sin(u) + Q_n (u) cos(u)), 其中 P_n(u) 和 Q_n(u) 皆为整系数多项式且 deg(P), deg(Q) < 2n。 ２，0 < I_n < 2。（提示：利用不等式，int_s^t f(x) dx < (t-s)max f(x)） 利用以上两点，如果 pi 是有理数，则令 pi/2 = b/a，代入上面等式中的 u。得：b^{2n+1}/n! I_n = P_n (b/a) a^{2n+1}。 由于 P_n 是整系数多项式，所以 P_n(b/a) a^{2n+1} 一定是整数。因此，b^{2n+1}/n! I_n 也一定是整数。但由于 I_n < 2 且 b^{2n+1}/n! -> 0，因此当 n 足够大的时候，得： 0 < b^{2n+1}/n! I_n < 1。按此推理，则存在一个在 (0,1) 之间的整数。矛盾！ [ 本帖最后由 颖颖 于 2010-4-29 17:47 编辑 ] [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

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#8 发表于 2010-9-6 13:15 资料 短消息 看全部作者 回复 #27 章剑青 的帖子 用 stereographic projection，把它投射到一个黎曼球面上就有解了啊。 60 年代有个叫广中平祐的人，证明了一个关于奇点解消的定理，专门可以用来解决类似问题的。 [ 本帖最后由 颖颖 于 2010-9-6 13:29 编辑 ] [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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