|
对于第一个题目，经过验证，1000以内的以下数字不能写成四个正整数之和。
1,2,3,5,6,8,9,11,14,17,24,29,32,41,56,96,128,224,384,512,896
于是我们尝试证明以下命题：2^(2n+1)不能写成四个正整数的平方和。其中n大于等于1。因为n可以无穷大，所以这个数列是无穷多的。
引理一：首先证明2^(n+2)不能写成四个正奇数的平方和。（n>0）
任何正奇数x=2kx+1,当kx>＝1即x>=3时,有x^=4kx^2+4kx+1=4kx(kx+1)+1=8qx+1，qx>＝1。当x=1时，qx＝0；其中kx、qx中，字母x为下标，表示与x有关的变量。
反证法，假设2^(n+2)可以写成四个正奇数之平方和，即2^(n+2)=w^2+x^2+y^2+z^2,w>=x>=y>=z>=1，w、x、y、z为正奇数。2^(n+2)>=8,所以w>=2。又w为正奇数，所以w>=3，即qw>0。所以2^(n+2)=8(qw+qx+qy+qz)+4，其中，qw>0，qx、qy、qz>=0；2^(n+2)－4＝4(2n-1)＝8(qw+qx+qy+qz)；于是(2n-1)=2(qw+qx+qy+qz)，左为奇，右为偶，矛盾，假设不成立，引理一得证。
再证明2^(2n+1)不能写成四个正偶数之平方和，（n>1）。数学归纳法。
假设2^(2k+1)不能写成四个正偶数之平方和，则2^(2(k+1)+1)不能写成四个正偶数之平方和。
以反证法证明之，假定2^(2(k+1)+1)可以写成四个正偶数之平方和。
即2^(2(k+1)+1)=a^2+b^2+c^2+d^2，a>=b>=c>=d>0，abcd为正偶数。则2^(2(n+1)+1)=2^(2n+3)=4*(2^(2n+1))=1/4*(a^2+b^2+c^2+d^2)=(0.5a)^2+(0.5b)^2+(0.5c)^2+(0.5d)^2，0.5a>=0.5b>=0.5c>=0.5d>0，与假设或引理一矛盾。
原命题得证。
[ 本帖最后由 whws 于 2006-10-23 21:31 编辑 ]
|
