考考大家的记忆力：初中几何课本里提到几条公理？不要翻书 - 辕门射虎


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#1

发表于 2008-1-11 22:44 资料短消息看全部作者

考考大家的记忆力：初中几何课本里提到几条公理？不要翻书

记忆力很好的请进一步回答：各条公理内容是什么？

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#2

发表于 2008-1-11 23:25 资料短消息看全部作者

注意了注意了，是公理，不是定理，而且要课本上提到的才算。

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#3

发表于 2008-1-12 03:43 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 潭忧公子 于 2008-1-11 23:27 发表

首先，这句话应该这样表达：两点之间线段最短。

因为直线是没有长度的。

其次，这不是公理，这是一条推论。

虽然这段话的意义含糊不清，比如什么叫长度，尤其是曲线的长度，但是在课本里它确实是作为基本事实也就是公理出现的。

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青木风亮

2008-1-12 14:40

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#4

发表于 2008-1-12 17:42 资料短消息看全部作者

“所谓公理就是不可能证明的”这种说法是不准确的，事实上公理也只不过是一些命题，是我们选择它们作为无需证明的前提，而不是它们真的就不能被“证明”。举个例子，上面青石把SAS，ASA，SSS同时作为公理列出来，这没必要，拿出一个作为公理，配合以前提到的其它公理就可以证明剩下的两个。还有一个例子就是大家都知道有了上面青石或 gsyzj 提到的平行公理就可以证明所有的三角形内角和都是180，但是反过来从存在一个（一个就够了）内角和不小于（不需要知道确切大小）180的三角形就可以推出平行公理，这点知道的人就相对少一些。有兴趣且有能力的不妨试试。
还有初中几何提到的公理跟欧几里德的公理是不一样的，它们都不完备，也就是说其实中学学的几何学定理不可能只用那些公理严格证明出来（最简单的例子：存在一个点这个最最简单的命题初中或者欧几里德公理就不能保证它成立，再比如：对任意两条不等于零的线段a、b，一定可以找到一个自然数n，使得na>b，这也是初中或者欧几里德公理证明不了的），这也是没办法，中学生没办法要求太高，只好大量借助于直觉。
那个证明任意三角形都是等腰三角形的办法也是利用不完备这点做文章，因为没有顺序公理，你不能证明三角形的内角平分线必定和这个角所对的边上的中垂线相交于三角形内部。

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青木风亮

2008-1-14 18:27

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#5

发表于 2008-1-15 20:10 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 潇湘暮客 于 2008-1-15 19:15 发表
1.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

（貌似平行就不是公理了）
2.垂线段最短

这两条都是定理，而且属于不需要用平行公理就可以证明的那种定理。

第一条：
垂线的存在性可以用构造法证明。唯一性可外角定理（三角形的任一个外角大于不相邻的内角，从而推出三角形的任意两个内角和小于180）推出来。外角定理的证明不需要平行公理。
第二条：可以由三角形的任意两个内角和小于180加上大角对大边定理推出来。

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#6

发表于 2008-1-15 20:13 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 yang1216 于 2008-1-14 20:35 发表
18楼完整，不过中学课本上不可能用这么严谨的语言来表述。

中学课本上的公理严谨性比欧几里德的要好，虽然也是五十步笑一百步；证明过程的严谨性要差一些，反正是难兄难弟。

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