唯一可能论 - 我思我在 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	古漢魂

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发表于 2006-11-9 20:11 资料短消息看全部作者

不是的！

这是在论证过程中的用语，在论证未完成时一切仍然属于"可能"，在论证完结时若仅存一个"可能"，而我们必须有结论，它便成了结论。

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发表于 2006-11-15 22:08 资料短消息看全部作者

QUOTE:

逻辑的漏洞就在于为什么一定要有结论？比如 Continuum hypothesis?

结论不一定要是"肯定"或"否定"，"不知道"也是个结论。在"不知道"中，我们有"仍未知道"及"不可能知道"。

"仍未知道"可能是资料(前题)不足够，也可能是资料(前题)与结论无关。但这是属于可知，知道了并不违反逻辑。

"不可能知道"却是知道时会违反逻辑。例子如数学的Theory of Everything与Gödel的Incompleteness Theorem有所抵触。

至于Continuum hypothesis，Gödel证明了不能从Set Theory的Axiom中推论出Continuum hypothesis。这不是一个结论吗？前题与结论是独立无关。

其实Incompleteness Theorem已说明在数学中永远有些东西是不能被明证或否证，这些东西或其等价都可以新Axiom形式加进体系中而不违背原有体系，但新体系却又仍会是Incomplete，永不完整。Continuum hypothesis是其一，但肯定不止于此，而且是永远不止。

QUOTE:

说起 Axiom of choice，...至今有一批 constructivists 还对这个公理及其不满。

Axiom of Choice基本上已无人认为它与Set Theory的其它Axiom有关又或有所抵触，但仍有人怀疑它会在别的地方出毛病。容许别人去怀疑是做学术应有的心胸。

两点能成一直线是欧氏几何的Axiom，直观得无人怀疑，但它仍是明列出来的Axiom。Axiom of Choice是Axiom的原因并非在于无限集合，而是在于无法从其它Axiom中推论出来。

QUOTE:

一直有个疑问：无限接近取值和值本身在数学上目前怎么理解的究竟？也就是极限和极限所趋向的数值本身

这是很基本的问题，牛顿、Leibniz没弄明白，反正管用便行。这要到十九世纪中叶才弄清楚。

简单说，若极限存在，无论我们以任何方法去迫近它，得到的极限值应该一样。换句话说，若有一个以上的极限值存在，那极限便不存在。例如零的零次方。

函数在该点的数值与极限值可以无关，相等时则说在该点连续。

没有数学"目前"的理解，这便是数学的理解！

这是大学数学分析基本入门课，若大学念数而不懂，这绝不可能过关。

QUOTE:

中学对于极限的教育等于扯淡。大学本科一般也喜欢避重就轻

极限好懂，无限我们真的不太懂。Continuum hypothesis已叫我们顶级的数学家花上了不少时间才弄明白，发现并不能从原有Axiom中可证之。无限可分级数，级数间并无中间级数称之为连续，但连续却又会产生新的无限。这些无限的级数可数不可数？

谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？

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发表于 2006-11-19 12:33 资料短消息看全部作者

QUOTE:

有限集合甚至可数集合的 Axiom of choice 都可以从别的 axiom 中推出来。这个公理的本质是针对无限集合而定的。

是的，指出得好！例子在无限集合中。

但无论例子在有限集合、无限集合、还是特定的无限集合，Axiom of Choice存在的原因就是推论不出来。这是所有Axiom存在的必要条件之一。

QUOTE:

而拓扑学的根本在于开集。一味的依赖于实变函数，反而会忽略拓扑本质的结构

对！对！对！但实数不是开集吗？整数不也是个开集吗？

拓扑学是橡皮几何，但世界并不都是橡皮做的。别的研究也重要吧！

QUOTE:

3. 谈极限，在拓扑空间中，Archimedean Axiom是否有效？
> 一般来说，一个在拓扑空间上的网可能有大于一个极限。但只要 X 是 Hausdorff，那么网的极限只要存在就只有一个。反过来，如果 X 不是 Hausdorff，那么永远会存在一个网，有两个不同的极限。所以如果想把讨论升级到纯粹的拓扑空间中，那么仅仅靠实变函数那些是不够的。但现在的大学本科越来越喜欢让学生这么想。

古某在想：Archimedean Axiom无效的话，拓扑空间中的点能否"开"？

是的！不考虑拓扑学，实变函数也是不够的！

复变函数的研究把零跟无限大扯上了。

突然想起了非整数维数的空间，是另一个无限，又一门数学。

数学中很多门都谈到极限无限，不仅是拓扑学，但我们仍然属于所知不多。

QUOTE:

、极限=数值吗？（我以为两者还是有差异的，不同的定义会指向相同的点么？）

看不明白！再看，还是不明白！

QUOTE:

也许哪天发现有一种数和已知的数都不同，而原先的那个数轴仍然有空隙留出来……

实数线上是没有，这是完全性／完整性(Completeness)的问题，数学家又怎会忽略了。

说到实数，古希腊的数学家已知道无理数的存在，但不喜欢它们。有想过"无理数"中的"无理"何解？正是古希腊的数学家骂这些数实在是"无道理"。但却没留意到他们最喜欢的"黄金比例"正正是一个无道理的数字。

古希腊的数学家甚至也知道零，但不并认为它是数字。

连续就是中间没空隙，这也是为何数学家叫Continuum Hypothesis这莫名其妙的名字。

QUOTE:

吓人，这么古的帖子都出来了，貌似我还回了帖的

噢！没注意到。该闭嘴了！

再想，也许我们已成功地回到过去...

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发表于 2006-11-29 20:22 资料短消息看全部作者

本要闭嘴，但闭不成。

QUOTE:

极限为1和1我总觉得是有区别的，虽然相等，可感觉毕竟是两种东西……

大数学家才对数学用感觉，古某未敢"感觉数学"。

古某不明的是：它们本不相同，乃基本概念，为何会"以为两者还是有差异"？从未有人说过它们相同！

1在x中，但极限谈的1是f(x)中。

QUOTE:

零是数字，不是数字的是虚无，零不能代表虚无，也许虚无这个词也不能代表

不！零代表虚无，但零不仅仅代表虚无。

古希腊不认同零是数字的原因是他们的数学基础是几何，几何谈比例，零是什么比例？同样原因，为何"无理数"无理？无理数不是比例！古希腊也不谈负数，什么形状有负数的边长？零的边长亦无意义。

假设四边形有一边长为零，古某在胡说什么？！

假设四边形有两边长为零！？！

假设有个零边形...。古某被痛打一顿，再被轰走了......

QUOTE:

Archimedean Axiom无效的话，我们将步入非典分析的领域 (non-standard analysis).

"非典"？

Archimedean Axiom有效，无限能产生零。零吃掉information。来个无限缩小再无限放大会如何？

Archimedean Axiom无效效果不同。但工具来自实数，Archimedean Axiom有效。实数线上的问题与特性带了进来。

QUOTE:

所谓维这个概念我觉得更多的是个代数概念

非整数维数并不从代数来，亦不从拓扑来。它是从有限中的无限而来。

QUOTE:

唯一可能就是唯一可能,有什么好奇怪的

有两种"可能性"：

1. 他／她把机率中的可能性与推理中的可能性假设混在一起。机率中零及一均不以"可能性"称呼，零为不可能，一为肯定。

2. 可能性是可能性假设的简称，按文法，"可能性假设"是名词，但"可能性"并非名词。他／她或许指文法错误。"唯一的可能性"是"唯一的可能性假设"的简称。

QUOTE:

可是,当真的着火了,大多数人还是说:快来救火啊!而不是:快来扑灭火啊!

着火了？先谈谈可能性，再谈极限，再来个拓扑还未迟。不急不急！

QUOTE:

代数几何拓扑……算了我还是别问了，过几年在想这个问题

过几年更不用想。

学海无涯，回头是岸！

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发表于 2006-11-30 05:43 资料短消息看全部作者

QUOTE:

不好意思，在下做事感觉成分过多，哪怕是用理性，也是以有感觉为先决条件

有什么不好意思？"感觉数学"者，大数学家也！

但你混淆了三个概念：感觉，直觉与个人偏好。

"感觉数学"是以直觉处理数学问题，这直觉必须在对学科掌握很好时才可靠，古某未到此阶段，故不敢。

个人偏好属感性，不可用于论证中。但除此以外，并无不好。

真"感觉"属五官生理之事，与此无关。

"唯心"？古某一生从未用过此词语，猜它是用来批抨别人吧！"心"无不好，"唯"却不好。

直觉无不好，唯直觉不好。

个人偏好无不好，唯偏好不好。

推理无不好，唯推理亦不好。

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发表于 2006-12-3 07:03 资料短消息看全部作者

QUOTE:

其实我说这些也没有别的意思，只是对大学本科课程把实数在分析领域中神圣化感到极其不满和误导而已。

实数分析很基本，很重要，但并不神圣。

数学中很多时把原来的限制拿走，便发现新题目。抽象化后再抽象化，实际上是为了把限制拿走。

古某想：无限大有限制吗？很浅易的问题，答案似乎是"没有"。"似乎"？

是的！无限大有它的限制，背后仍有规律限制。抽象化目的是把规律显现出来。这方便把限制再拿走。拓扑空间能比实数空间"大"，走的便是这方向，让限制更少。

无穷大，无穷小。但古某时间也穷得真很。学海无涯，回头是岸啊！

有能力的人是不会被误导得太久的。一直被误导而不知的人也是该当如此。不必生气。生气时复制会出错变了样。

古某也没别的意思，没有不满，连被误导都未曾。仅胡言乱语一翻。

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发表于 2006-12-23 08:12 资料短消息看全部作者

QUOTE:

在数学上,等式:0.99999999...=1,该命题对吗?

若1-0.99999999...为零，它们便是相等。

论证1-0.99999999...是无穷小。以后就是Archimedean Axiom的事了。

古某于中学习此论证，教时老师说别问她何解，她亦不明。古某的数学老师大学主修数学，毕业成绩名列前茅。大家不明时也别太伤心。

QUOTE:

hyperreals 包括了一个元素 H = 无穷大，和 d = 1/H = 无穷小。

古某来个一招三式圣诞小点。

谈Continuum hypothesis时谈到无穷大，那无穷小有级别吗？无穷大能算是"一个"元素吗？无穷小又能算是"一个"元素？

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发表于 2007-1-8 17:12 资料短消息看全部作者

若Hyperreal从Real引伸出来，这无穷大该与实数的无穷大同等级。

复数亦可从实数引伸出来，它的无穷大级别也该与实数同等级。

当然，这是直观而非严格证明。

若以reciprocal从无穷大定出无穷小，无穷小也该有等级。若实数无穷大比有理数无穷大更大，这是说实数无穷小比有理数无穷小更小。

但实数无穷小与有理数无穷小相等，皆为零。奇怪奇怪？

或许可考虑一下Smooth infinitesimal analysis，包括无穷小但不包括无穷大。学哲者若能看懂该看看，它拿走了"排中律"，真的大胆！

这也许是大餐而非小点了！

QUOTE:

在一个 Banach space 上，如果要测量一个元素的大小，我们可以用一个 norm, ||.|| : B -> R 来衡量。Cardinal numbers 的存在主要是为了来衡量集合的大小。具体地说，我们可以写出 |A| = x，其中 x 是一个 cardinal number （不同级别的无穷大似乎也只是在 cardinal number 中出现而已）。但这个 map |.| 的严格意义是什么？一个 range = cardinal numbers, domain = set of all sets （所有集合的集合）的东西么？但 set of all sets 本身不是有着逻辑矛盾么？我相信这个问题应该被解决了吧，

Cardinal number是点算用的，自然数亦为Cardinal number，严格来说它们叫Finite Cardinal number。Continuum Hypothesis提及的是点算无穷大用的Cardinal number。

Aleph-null是最小的无穷大、是自然数的大小，Aleph-one是实数的大小，其它的可参考

http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number

及

http://en.wikipedia.org/wiki/Successor_cardinal

无穷集合的Cardinal number是以能否找到一一映射至另一已知Cardinal number的集合上，这是最常用，也可能是目前唯一点算无穷的方法。

传统的集合论中Set of all sets不能存在，这是Russell's paradox的直接结果。一般用的是Set of all needed sets作为Univeral Set避开问题。

是打算把东西放到Banach space来解决吗？想把所有的无限集合用来建立Banach space吗？

1. 先不说Set of all sets，"所有的无限集合"能满足Banach space的要求吗？这先要证明Completeness。

2. Norm为实数，Finite Cardinal number是自然数，属实数，但无限的Cardinal number不是实数，或许再把它们再映射至自然数，这要来点论证。又或许容许Norm是Cardinal number，这要修改／延伸Banach space。Cardinal number之间可以定义与自然数相似的"算术"，这或许可满足Norm或Metric的要求。参看

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

别叫Banach space了，一个特殊／延伸了的Banach space，叫颖颖空间吧！

最困难的或许是Completeness，但真能建立颖颖空间，结论除了"颖颖真聪明"外，还可得到什么结论？

注：

1. Set Theory不止一套，有别的Set Theory能容纳Universal Set。

2. Russell's paradox是
A={x: x is not a member of x}
A是否属于A？

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发表于 2007-2-5 06:24 资料短消息看全部作者

QUOTE:

无穷大和各个等级的无穷带，这个概念不是一个客观概念

为何有此说法？数学仅一观，古某从未听过数学上的客观概念，一般谈的是Well defined or not，是否另有所指？还是谈主观客观谈得太高兴？

QUOTE:

据我所知，只有讨论命题在 Cardinal numbers 的这个集合上，才会有不同等级的无穷大出现

Infinite Cardinal numbers非实数，亦非复数，并无其它已知的数字集合涵盖它，亦与其它数合不来，仅在Cantor的无穷大分析中出现。但Infinite Cardinal numbers可能是目前最具体谈无穷大的研究，能把无穷分门别类。我们对无穷所知不多，谈不多很正常。

仅出现于某课题无所谓，重要的是它们是否有矛盾。

来个小点：这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？

QUOTE:

在实数和复数上都没有无穷大这个概念

实／复数当然有无穷大这个概念，但无穷大仅为概念而非数字。或者说"无穷大"是概念，非元素，它们是开集，开在无穷处。

无无穷大概念又如向能映射至极上？又如何进行极限？

复数无穷大有问题？实数无穷大不一样吗？别忘了另一端的负无穷大，正负无穷大均为无穷大。

QUOTE:

２．|*R| = 2^|R|. 它的 cardinality 比实数整整高了一个等级．

实数与Hyperreal的cardinality是同级的。建立Hyperreal可用power set，但非全都要。

QUOTE:

这里面 needed 怎么解释？哎，没办法，我基础数学的确没多少，功底不是很扎实．

"needed"是古某说法，一般说Universal Set in context，意思一样，即足够大的集合，文字上是"题目中的Universal Set"。这并不是很严格的数学概念。

功底是假的，兴趣才是真的。别担心功底。

奇怪！古某提及Smooth infinitesimal analysis拿走了"排中律"，这是逻辑推理中的一件大事情，哲学论坛中为何竟无回响？

古某曾在别处看过拿走"同一律"的讨论，哲学高手们努力保卫"同一律"，为无人保卫"排中律"？

还有别文想回，奈何太忙，要暂别大家些日子了。

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#10

发表于 2007-6-9 19:07 资料短消息看全部作者

QUOTE:

忘了怎么扯到无穷大上了

答案是"胡扯"，也许是"古扯"！？

QUOTE:

1. ...
2. ...

无穷大不是数，当然不是实数，也不是复数。这是从不严格的定义出来的。

稍为严格的说法是无穷大与实数、复数都合不来，也就无法放进集来。

再严格点是实数及复数的norm无least upper bound。

稍再严格点...

数学有很多层面看事情，也有很多不同的方法进行论证。

数学家最高兴的事也许是获奖，但两门不同出发点的数学分支能合在一起也许是次高兴的事。起点不同，但都在谈无穷，它们在哪相交目前仍不知。但除非能找出各自的"无穷"慨念有根本分别，否则它们便该于某天某处碰面。到时有人获奖最高兴，其它数学家们次高兴，古某站在一旁次次高兴。

QUOTE:

注意：国内中学课本上对复数的定义是错误的，课本上说 C = {a + ib | a, b in R, i = sqrt(-1)}. 但事实上存在着一个 field automorphism i : x+iy -> x- iy，使得 sqrt(-1) = i or -i 都可以，并且我们根本无法区分 i 和 -i 的差别。因此，以上定义在逻辑上是不严格的。

有点不对！我们当然能分辨ｉ及-ｉ，它们并不相等，但去选谁是＋ｉ、谁是–ｉ却有点麻烦，把–ｉ叫做＋ｉ当然可以，互换位置便成。

平方根并非严格的数学函数，它是１到２的映射，拿来作数学定义当然有问题。数学上严格的平方根定义是"正的平方根"。但什么叫正虚数？什么叫负虚数？如何定正负？正数大于零，但虚数又如何大于或少于零呢？

从自然数引出整数实数，自然数内无负数，正负从开始已经不对称，对称是人为后加的，故实数中并无正负对称问题。但虚数是另一个单位，乘上实数便是正负对称。这是对称问题，要么想法子打破对称！要么承认正负的选择是随意的！

没看过国内中学课本，但若如此定义，问题也仅是进行了一个随意选择而不自知。"中学课本"，别说编者水平未必能分辨定义上的差异，若真要进行严格定义，颖老师在中学时能否欣赏它的严格吗？

正如中学把原子说成是微小的太阳系，大学却说是电子云。难道要批评它错了吗？

QUOTE:

填上的这个点就是无穷大。但这个无穷大和集合理论中，cardinal numbers 里用到的无穷大是不一样的

Infinite Cardinal Numbers可看成Finite Cardinal Numbers的延伸，都是点算用的，Finite Cardinal Numbers就是自然数，Finite Cardinal Numbers能引出整数、有理数、实数及复数，那么Infinite Cardinal Numbers能否进行类似的引出？

Cardinal Numbers是点算用的，但实数不能进行点算，把Infinite Cardinal Numbers看成是实数的延伸当然不妥，实数延伸是Infinite Measuring Numbers。那么，喜欢追问的人很自然地会问：复数有类似的延伸吗？

QUOTE:

你提到了“这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？”　这个其实不就是 continuum hypothesis 么？

古某坏蛋！

Infinite Cardinal numbers不能组成集合，它是一个proper class！可参看Burali-Forti paradox。

倒看不出与Continuum Hypothesis有直接关系。如何看出来？

常闻Universal Set非集合，那好像太遥远了。这里是一个成不了集合的例子。

问题再问：它到底有多大？

QUOTE:

这个命题在数学界属于非真非假，倒可以用作反对唯一可能论的例题。

按此说法，所有公理皆属于非真非假。

Continuum Hypothesis是说明缺了一个公理！是前题不足。Incompleteness theorem却说我们永远都会缺少公理。也好！数学家永远有活干。

QUOTE:

最后承认一下错误，...

明白，HyperInteger与Real一样大，很自然以为HyperReal与Real的power set一样大。

是不小心！但小心坏蛋。特别是某坏蛋！

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#11

发表于 2007-6-24 19:43 资料短消息看全部作者

QUOTE:

古汉魂: 我从第一楼又看了一遍，不知道什么时候“唯一可能论”就转换成了极限上的唯一可能论。

古某已说过是"古扯"。原因不必深究。

QUOTE:

至于复数的定义，我只是说中学课本的定义是错误的，并没有说教育方法应该变啊。事实上，几乎中学学到所有的知识，都不是完全正确的，上了大学之后有一种修改的意识就可以了。

古某仅分析定义问题在哪，属不严谨。但以中学水平来说，古某完全可接受。

有点火药味，不谈数学了。

QUOTE:

从文法的方面来看.唯一可能的"唯一"是个形容词,用来修饰"可能的"这个名词.

原文指"唯一"是肯定的形容词，但"可能性"却带有不确定性。故认为有问题。

古某来点篇幅：

推理有两大分类：确定性的推论与可能性的推论。

哲学以及主体数学属确定性推论。我们常以"算"来说"确定性推论"。每步的下一步皆肯定。故不会用上"可能性"这词。

"算"是非常严谨的推论，它包括计算以及所有哲学数学的论证。

以往朋友们提出"唯一可能性"的例子都在"算"内，"唯一"是没错，但却不能归入"可能性"内，因它们从未不确定。

西方数学与哲学皆源于古希腊，严格来说哲学源于数学，毕达哥拉斯是第一个自称哲学家的人，他认为"万物皆数"，柏拉图亦有此信念，故习哲者必须习数，因他们认为通过学习数学才能认识真理。及后数学集中在数字运算处理，哲学却可谈更多题目，故哲学发展比数学来得更快更佳。近年数学摆脱了数字之困，能谈更多题目，再看发展如何。

常看到古某说古希腊如何神奇，古希腊亦有弱项，他们喜欢确定的东西，却不研究不完全确定的事物，今天的哲学以及主体数学皆如此。概率是很晚才发展出来的，而量子力学的不确定性更产生不少误解。

"算"在formal logic中发展得很好，但它的问题是在现实中用处有限！

"算"以前题通过步骤而得到结果，但小心的看，结果其实早已在前题中，演算步骤作用是把结果在前题内显示出来，并无半点新东西可演算出来。前题完全包含结论，但现实中我们在哪可找个可确定的前题？

科学及现实生活中用的推论属可能性推论，并不完全肯定，故会用"可能性"及"信不信"来谈。明天地球太阳还在不在？谁晓得？但谁会推论明天它们会不在，这可能性极低，杞人忧天！但以确定性推论，我们的确该忧。无人能证明"科学定律"明天仍是一样，明天引力还在吗？

可能性推论并不像确定性推论那么可靠，但结论却并不完全包含在前题内，换句话说，推论中能产生未知的新东西。

推理小说中经过一大串推理后，唯一的可能凶手是．．．

但真的是唯一的吗？若作者突然说是一个从未在书中提及的人才是凶手，他绝对能自圆其说，但大家肯定会问句作者娘亲。"唯一"是"唯一剩下"的，而非在确定性推论中严格的"唯一"。

"唯一可能性"在确定性推论中有语病，但在可能性推论中却无问题。

这属informal logic。不能拿哲学数学的例子来，哲学数学用的是formal logic，是确定的。

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