塌先生数字问题78 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-7-11 11:17 资料主页文集短消息看全部作者

粗略算了一下，多半是20254050607540502025。
前面三个条件没问题，就是最后一个，没仔细验证，误差不过超过一两种。
塌鼻子先生看看答案对不对，对的话我把有关的推理过程写出来。

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#2

发表于 2005-7-12 00:18 资料主页文集短消息看全部作者

前面三个条件，英布之勇已经分析得差不多了，差不多都是些常识性的东西。关键在第四个，我承认，我也没做完。
我是在分析过程中假设这个数字是奇数的，因为得出了一个答案，就没再对偶数的情况做进一步的分析。

虽说我也自诩是一个数学爱好者，但还从来没看到过，也没琢磨过把一个数变成若干连续自然数之和的问题，临机思考，也不知对错。
一、首先容易想到的是，对自然数N，若有奇数（n)个连续整数之和等于N，则有：N=nm
其中m为这n个连续整数中间的一个。
反过来说，若N有奇因数n，则必可表示为以N/n为中心的n个连续整数之和。
要保证这n个整数都是自然数，需其最小的一项大于0。
最小项=中项-（n-1）/2=N/n-（n-1）/2>0
N>n（n-1）/2

二、再考虑若有偶数（2n)个连续整数之和等于N的情况。
令这2n个连续整数中间偏小的那个数为m，则这2n项之和为
（m+1/2）*2n，=（2m+1）*n
在假定N是奇数的前提下，可以知道n只能是奇数，否则上式的结果必为偶数。

反过来说，若N有奇因数n，则必可表示为以N/2n为中心（此数为整数+1/2）的2n个连续整数之和。

要保证这2n个整数都是自然数，需其最小的一项大于0。
最小项=N/2n-n-1/2>0
N>n（2n+1）

综合以上两条，对奇数N的任一因子n（自然也是奇数了），若n（n-1）/2<N，则可按构造出n个和2n个连续自然数和为N；若n（2n+1）<N，则可构造出2n个连续自然数和为N。
这两个分界点把N的奇因子分为三组，最小的一组每个因子可以提供两组数列，中间一组的可以提供一组数列，最大的一组提供不了数列。
由于这两个分界点的积（可以解方程算一下）约为N，这样小于第一个分界点的因子个数和大于第二个分界点的因子个数是相等的（似乎有可能差一个），这样N的因子的个数-1就等于条件4中的数列种类了，这个-1是去掉因子1。

要知道N的因子个数可先把N分解质因数N=P1^m1*P2^m2*......P(n)^m(n)
因子个数为（m1+1）（m2+1）……（m(n)+1）

把100010001分解质因数，得3X7X13X37X9901
由1000<ABCD<3333且ABCD是平方数，知其开方后大于32小于58
对这中间的奇数逐一分解质因数进行计算，只有45合适
（45*100010001）^2=3^6*5^2*7^2*13^2*37^2*9901^2
因子个数为7*3*3*3*3*3=1701

至于N为偶数的情况，没细想，似乎比奇数时麻烦一点。

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#3

发表于 2005-7-13 12:54 资料主页文集短消息看全部作者

塌先生还真能考较人。
这个求全部约数的和也有公式，巧了还真是小学时推出来的，现在公式是记不住了，方法还记得
先分解质因数P1^m1*P2^m2*......P(n)^m(n)
然后分别对每种质因数求1+Pi+Pi^2+Pi^3+……+Pi^mi（等比数列之和）
最后把n个和数乘起来就行啦

关于：
对。一个自然数拆分成若干个连续自然数之和的方法数，等于这个自然数除1以外奇约数的个数。
这个真还不知道，塌先生能不能把证明贴出来观赏观赏？

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