球体体积与半径问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2011-4-4 19:36 资料个人空间短消息看全部作者

球体体积与半径问题

已知条件：
球体的体积计算公式为：V=4πr³/3；
A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6。

【question】某球体的体积与半径恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6，此时A与B的值分别是……？

【prompt】原题中，A对应体积，B对应半径。

题目中有两个方程，一个是二元三次方程，另一个是分式方程。很明显，直接解是解不了的。
但我们不难发现，两个方程的左边都等于A，因此两个方程可以直接合并为一个方程：4πB³/3=6B/(6B+99)+6。
有的朋友可能会说：“这样不是更乱了吗？”但是，一旦两个方程合并为一个方程，就可以很容易地变形了！

变形第一步：化分式方程为整式方程，方程的每一个项都乘以6B+99，结果得到8πB^4+132πB³=42B+594
变形第二步：移项(把未知数B全部移至方程左边，常数项全部移至方程右边)，得到8πB^4+132πB³-42B=594

现在我们得到了一个一元四次方程，只要你会解一元四次方程，就会解这一题。都提示到这份上了……

【key to the question】A=6.06416...... B=1.13126......(此答案为正解的小数形式，供对照参考)

【拓展】从数学到物理

已知条件：
球体的体积计算公式为：V=4πr³/3；
A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6；

question：
一个装满了水银的玻璃球体容器的容积为90cm³，此玻璃球的总质量与其厚度恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6。求此时A与B的值。

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 22:34 编辑 ]

本帖最近评分记录

托塔李天王

2011-4-8 21:12

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#2

发表于 2011-4-4 20:08 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #2 墨叶的帖子

这可不是一元二次方程组。
从球体体积公式中可以得出一个二元三次方程，从函数关系式来中可以得出一个分式方程……

球体的体积计算公式已经接近高等数学了……

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-4 21:38 编辑 ]

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#3

发表于 2011-4-4 22:28 资料个人空间短消息看全部作者

原题目有问题，“A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)”应该是“A与B的函数关系式为A=6B/(6B+99)+6”

已更正！~~本题目答案唯一。

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-4 22:29 编辑 ]

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#4

发表于 2011-4-4 22:37 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #5 KYOKO 的帖子

我已经用几何画板绘制过这两个函数图像，有且只有一个交点，只是这里无法上传图片。

本题若直接解方程组，可能得不到正解……

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-5 15:24 编辑 ]

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#5

发表于 2011-4-5 15:29 资料个人空间短消息看全部作者

顶起！没有人会解这一题吗？…………

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:57 编辑 ]

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#6

发表于 2011-4-5 21:27 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #10 KYOKO 的帖子

本题有正确答案，且答案唯一。努力思考吧！

#1已给出了正确答案的小数形式，不至于还要我把N次方根形式的式子发上来吧……

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-5 21:31 编辑 ]

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#7

发表于 2011-4-6 18:15 资料个人空间短消息看全部作者

回复 #12 周瑜的帖子

原题目中有这样一句话：“某球体的体积与半径恰好符合关系式A=6B/(6B+99)+6”，
按照我们正常的理解，句子前后的顺序是一致的，即A对应体积，B对应半径(于2011年4月6日18∶58补充至#1)。

数学是编程的基础，周大哥哥应该会解这一题的。

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-6 19:02 编辑 ]

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#8

发表于 2011-4-6 18:22 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 sunnybill 于 2011-4-6 13:07 发表
看楼主给的答案的话应该是a是体积，B是半径，并且在非负数区间里会有唯一解。但是目前还没想出来怎么求解析解。
暂时的思路是，对一元四次方程进行因式分解，形成两个一元二次方程，一个有一对共轭解，一个有两 ...

这位朋友用的是费拉里公式，如楼下孝直兄所说，但本题除了用费拉里公式，还可以用其他方法来解。

提示各位解题者：

若将两个函数图像画在坐标系中，会发现它们只有一个交点，这个交点在第一象限内。

　　　　　　　A=4πB²/3
也就是说，｛A=6B/(6B+99)+6(不支持方程组输入……)，这个方程组的解就是本题的答案。

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 21:59 编辑 ]

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#9

发表于 2011-4-7 18:21 资料个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 阿尔法孝直 于 2011-4-7 00:56 发表
LZ是不是在考大家费拉里公式的应用？

费拉里公式几乎成了解四次方程的基本方法、常用方法，但本题不一定要用费拉里公式。如果孝直兄会解这一题，就请跟帖解答吧。

该问题回答正确有TB奖励。

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 22:02 编辑 ]

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#10

发表于 2011-4-8 23:35 资料个人空间短消息看全部作者

回复托塔李天王版主的帖子

多谢版主！
我来轩辕尚未超过一个月，就得到了通宝奖励。

今后我会更加努力的！~~o(∩_∩)o ~~

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:36 编辑 ]

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#11

发表于 2011-4-8 23:53 资料个人空间短消息看全部作者

我在#1已给出提示。

本题看上去好像很复杂，其实通过方程组合并及方程的变形，可以得到一个一元四次方程。

我想，著名的费拉里公式各位一定都知道，通过公式(不一定是费拉里公式)可以解出该题(虽然有点麻烦)。

如版主所说：根据本版版规，答对A级原创题者可获得200通宝。

【最后补充】

#13 sunnybill 说得很对，一开始我没有仔细去看，在此表示道歉！

[ 本帖最后由 Mitchell 于 2011-4-8 23:54 编辑 ]

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