比大小 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	俺是马甲

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#1

发表于 2005-10-22 21:26 资料短消息看全部作者

1,A
2,B
3,?暂时没仔细想了
4,显然是C,一样大嘛

这个1,4,都是比较明显的
1,按ln(1+x)的在x=0处的泰勒展开,取x=1,哇塞,也太,这个就不说了

4,学过初中数学的大概都知道

2,难算一点,但也不过是展开一下而已,等价于求23^1/3与45/16哪个更小
又等价于求(1-4/27)^1/3与15/16哪个更小
再将前者按(1+x)^1/3展开,哼哼,显然了吧

第三题应该也是可以先取正切再展开算得出来的

我的意思是,这位MM你出的题跟那位塌先生还是有些差别的
那位先生出的题涉及的数学知识比较深哪
既然你对这类数学智力题这么有兴趣,我出一个你瞧瞧

令G(N)=(x^N)*sin(N*A)+(y^N)*sin(N*+(z^N)*sin(N*C)
已知G(1)=G(2)=0且A+B+C=m*Pi
其中,m,N是整数,x,y,其他变量都是实数
证明对任意N为正整数,G(N)=0

怎么要要写的 N*B 的地方字母B成了个图标了,晕

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#2

发表于 2005-10-22 22:59 资料短消息看全部作者

怎么能把我的话看成冷潮热讽呢
我的意思是你的这些题基本上算是趣味题吧
好似不涉及特别的数学知识
和塌先生出的题不是一个类型,我晕
另外对于第三题,我前面的贴子本来写成了正弦
其实我当然应该是想说正切啦,现在已经更正了

另外,你对我的题理解有误哦
我并没说x,y,z,A,B,C这些东西是可以乱取的哦
否则还要那么大一堆条件干什么
你怎么能由任意性推出那些个东西呢,我暴汗

说得更直白点吧,x,y,z,A,B,C都是取定的实数
它们满足我给的三个条件,最后才是要证的

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#3

发表于 2005-10-22 23:30 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================

你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。

P.S. 第三题：你要比较 9/8, tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。

我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧

另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:

对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0

这样够直白了吧,你还搞不懂???

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#4

发表于 2005-10-23 10:49 资料短消息看全部作者

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0

这个地方能解释下吗?
好象不能直接得到0的结果

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#5

发表于 2005-10-23 17:28 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦

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#6

发表于 2005-10-23 17:31 资料短消息看全部作者

不过,也差不多能解决问题了
虽然烦琐了点,还是解决了问题的
要不要我公布一个比较简洁的证明办法啊

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#7

发表于 2005-10-23 17:45 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 17:33:01发表

QUOTE:

原帖由俺是马甲于2005-10-23, 17:28:40发表
[quote]原帖由天宫公主于2005-10-23, 14:17:19发表
不好意思, 打错了.

Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= exp(ip(a + b + c)) Im[x^p y^q z^r exp(i(Qb + Rc))]
= 两变量不等于零的情况.

然后看后面证明即可.

至此亦不能完全说明
因为这样的形式和后面是有区别的
你还没有得到与后面一步完全等价的结果哦

行吧行吧... 你爱怎么说怎么说吧.

想贴答案可以啊... 你把标准答案贴出来, 偶也见识见识. [/quote]
那我要说了:

令x1=x*exp(i*A),x2=y*exp(i*,x3=z*exp(i*C)
则就相当于要证:
已知:x1+x2+x3, x1^2+x2^2+x3^2, x1*x2*x3
都是实数,要证明:
S(N)=x1^N+x2^N+x3^N是实数,对吧
然而显然,S(N)是关于x1,x2,x3的对称多项式
都是可以用x1,x2,x3的初等对称多项式的多项式形式表示出来的
而由已知条件,很容易证明:
σ1=x1+x2+x3,σ2=1/2*(x1+x2+x3)^2-1/2*(x1^2+x2^2+x3^2)
以及σ3=x1*x2*x3都是实数吧
然后就可以证明了,

当然如果你不用初等对称多项式的这个定理,
也可以用S(N+3)=σ1*S(N+2)-σ2*S(N+1)+σ3*S(N)用归纳法证明出来
对于上面这个递推式的推导,应该能够理解吧,因为
xi都是x^(N+3)=σ1*x^(N+2)-σ2*x^(N+1)+σ3*x^(N)的根,所以
再三个式子加起来即可得到那个递推式

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#8

发表于 2005-10-23 18:05 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2005-10-23, 18:00:47发表
汗... 和我的证法有什么不同? 归根结底还是要对(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n 做多项式展开. 不然的话, 那些σ也不会出来的说.

请注意,我两种证法都没有涉及你那个多项式的展开呀
第一种证法用了多项式理论的一个定理,证明
是非常简洁的,可以说就两句话就说明了
第二种证法也只是用了韦达定理,何来对(x1+x2+x3)^N的展开啊
其实,我的两种证法核心在于利用了实数对于一般的数
的加法和乘法够成一个交换环这一个性质
和你的证法是有本质区别的哦

PS:楼主现在对我说法敌意很浓啊

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