关于蠕虫悖论 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-8-27 19:55 资料主页文集短消息看全部作者

你的想法是错误的,因为绳子是均匀的,在爬过1CM后,绳子被拉长成200CM,那爬过的1CM同样也被拉长成了2CM.虫子爬过的路程会随着整条绳子的拉长而拉长.
你所说的计算方法应该是高等数学中最基本的求极限思想.

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#2

发表于 2006-8-28 09:47 资料主页文集短消息看全部作者

1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
---------------------------------------------------------
最后那个1/2的k次方怎么得到的?
我觉得应该是(1+1/2+1/3+.....1/n),能否爬到终点其实就是求这个数列是否收敛,不收敛肯定能爬到,如果收敛收敛于大于100的数也能爬到,事实上这个级数是发散的,所以能爬到.

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#3

发表于 2006-8-29 09:50 资料主页文集短消息看全部作者

事实上k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...的k是发散的(证略)，那么当n=1时的k/100也是发散的。故蠕虫可以爬到终点。
-----------------------------------------------------
思路是对的但出了点小错,k=1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...是收敛的,因为k<1/n+1/n+......1/n=1.
1+1/2+1/3+.....1/n才是发散的

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#4

发表于 2006-8-29 10:42 资料主页文集短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 fy945 于 2006-8-29 10:29 发表

我那个k是无限项之和，不是n项之和。

所以k还是发散的。

你那个k<1/n+1/n+...=1是n项，不是无限项，请明察。

也是我懒，应该写k=1/n+1/(n+1)+...+1/(n+m)+...，m充分大。

你的写法有是问题的,你没有定义n是什么,如果n也是无穷大呢?就会出现三种情况k→0,k→常数,k发散.

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#5

发表于 2006-8-29 11:30 资料主页文集短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 KYOKO 于 2006-8-29 10:59 发表
怎么证明1+1/2+1/3+1/4...是发散的?

这是很常见的一个级数,叫调和级数.
把e的x次方展开成幂级数,e的x次方=1+x+(x~2)/2!+(x~3)/3!+......+(x~n)/n!+......
所以e的1/x次方>1+1/x.
两边取对数得1/x>ln(1+1/x).
所以1+1/2+1/3+......+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+......+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+......+ln[(n+1)/n]=ln2x(3/2)x(4/3)x......x[(n+1)/n]=ln(n+1)
当n→+∞时,lim[ln(n+1)]→+∞,所以1+1/2+1/3+.....1/n是发散的.

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#6

发表于 2006-8-29 11:35 资料主页文集短消息看全部作者

证明方法都有许多种.

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