[已解决]一道老题了，至今不知道答案 - 辕门射虎

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	青石 (临照轩)


	木禾侯谏议大夫 ★

组别	翰林学士
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编号	18288
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发表于 2008-3-4 12:23 资料主页个人空间短消息看全部作者

这个问题是Kakeya conjecture（挂谷猜想）

已经被解决了，答案是可以任意小。

搜到一段话：
“日本数学家挂谷(Kakeya)宗一于1917年提出的一个问题，原题是一武士用短棒抵挡矢石射击，换成数学记法表示为：如何将长为1的线段转过180°(或360°)，使这线段扫过的面积为最小？

若棒绕一端旋转半周，扫过的半圆面积为π/2=1.57…；若棒绕中心旋转180°，扫过的面积为π/4=0.785…；若在正三角形(高为1，边长为2/sqrt3)中每一顶点处各绕60°，则扫过面积为1/sqrt3=0.577…。挂谷本人考虑内摆线，当小圆、大圆的直径分别为1/2，3/2时，曲线内任一条切线长为定值1，棒再按在正三角形内的方式转动扫过的面积为π/8=0.392…。挂谷本人及许多人都认为这就是最小面积了。

1925年美国数学家G.D.Birkhoff特别在著作中提到挂谷问题。后来，长度为1的线段可在点集中转过180°，这样的点集被称为挂谷集。挂谷问题就转化为求面积最小的挂谷集。1920年原苏联数学家Besicovitch在自己的研究领域提出一个类似的问题：是否存在一个面积(若尔当测度)为0的平面点集，它在每一方向上都有长度≥1的线度？后来他将这两个问题称为孪生问题。1928年Besicovitch解决了自己的问题，即构造出面积为0的平面点集，在每一方向上都有长度≥1的线段。接着又运用同样的方法，并借助匈牙利数学家鲍尔(J.pal)的想法进行“联结”，成功地解决了挂谷问题。他的结论出乎绝大多数人的意料：短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。他的方法由德国数学家佩龙(1928)和另一位数学家舍恩伯格(1962)两度化简，已成为数学中的经典例子。但他们得到的挂谷集有很多洞，因而不是单连通的。

1921年鲍尔证明了如果限于凸图形，前述的正三角形是面积最小的解(1/sqrt3)。1965年R.J.Walker首先找到比挂谷本人解答的面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安(F.Cunningham)先后造出面积为(5-2*sqrt2)π/24(<π/11)的单连通挂谷集。1971年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集，完全解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时，他证明了如果限于星形(即图形内存在一点，连接它与图形中任一点的线段整个在图形中)，则挂谷集的面积≥π/108。挂谷问题还有多种推广形式，如1971年戴维斯(R.O.Davies)证明了一条半径为1的圆弧转过180°，扫过的面积不能任意小。此外，将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。”

[ 本帖最后由青石于 2008-3-4 12:26 编辑 ]

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发表于 2008-3-4 18:29 资料主页个人空间短消息看全部作者

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