关于蒙提霍尔悖论 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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发表于 2011-8-19 21:22 资料主页个人空间短消息看全部作者

关于蒙提霍尔悖论

问题
　　以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：　　假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？　　以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：　　如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。　　Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。　　一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。　　这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。　　Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：　　参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。　　主持人知道每扇门后面有什么。　　主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。　　主持人永远都会挑一扇有山羊的门。　　如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。　　如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。　　参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
解答
　　转换选择可以增加参赛者的机会吗？　　问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。　　有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：　　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　　参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。　　在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。　　如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是 1/2。不过若主持人不知道哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而赢的概率仍为2/3。　　另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

不明白这个，我觉得MS玩了文字游戏，应该是这样的：

　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。　
　参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。
参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。

这样才对啊。

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发表于 2011-8-19 21:28 资料主页个人空间短消息看全部作者

还有个女孩问题：
女孩的概率

1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？

答：三分之一。

因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

这对应了三门问题的第一种情况。

2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？

答：二分之一。

这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。

这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。

你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。

我觉得也玩了文字游戏，生两个孩子的可能性只有3种可能：男男，男女，女女。女男实际上依然是男女，只是顺序上变了，本质没改变。所以得知有个一女孩的情况下，概率怎样都会是1/2。

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发表于 2011-8-20 09:26 资料主页个人空间短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 zhouhuan 于 2011-8-20 09:23 发表
参赛者挑山羊一号
参赛者挑山羊二号
参赛者挑汽车
这三种情况是等概率出现的，都是1/3。

有了参赛者的选择后，才有主持人的选择，所以楼主的第二种情况应该是这样的：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二 ...

原来如此，懂了，谢谢

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