几何概率问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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发表于 2005-1-28 21:52 资料主页文集短消息看全部作者

既然问几何概率，便从几何上解——学过立体解析几何的，xyz三轴画个图就知道了：

1、x+y+z=1(x,y,z>0)形成的正三角形截面，即为全部case

2、满足三角形构成条件的 x+y-z>0， x+z-y>0，y+z-x>0 这3个半平面截前述正三角形截面所得恰好是连接该正三角形各边中点构成的小正三角形——该三角形面积就是所有favorable cases

3、中心的小三角形（favorable cases），面积恰是原三角形（all cases）的1/4——这正是几何概率的定义。

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发表于 2005-1-28 22:13 资料主页文集短消息看全部作者

期望的问题，最直接的方法是按定义求，虽然比较繁（我相信应该有更简便的）。

设面积为S，则S = sqrt (1/2*(1/2-x)(1/2-y)(1/2-z)), x, y, z分别为3边长，x+y+z=1，面积公式为helen公式（1/2为三角形半周长）

于是分别需计算E(S)和Var(S)，其中Var(S)=(E(S))^2-E(S^2)，于是仅需计算E(S)和E(S^2)

然后计算三重期望应该可以完成——确实比较繁，想必是有简单的法子。

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