原帖由kesin于2004-10-19, 16:14:10发表
假设k边形分成的区域为f(k)，再增加一个顶点，A(k+1)，考虑对角线A(k+1)Ai，一侧有A1，…，A(i-1)共i-1个顶点，另一侧有A(i+1)，…，Ak共k-i个顶点，两侧之间的点连线，可得A(i+1)Ai与前k边形A1A2…Ak的边及对角线共有(i-1)(k-i)个交点（任三点不共线），这些交点把对角线A(k+1)Ai分成(i-1)(k-i)+1条互不重叠的小线段，每条小线段都把所在的区域一分为二，区域增加了(i-1)(k-i)+1块，取i=1，2，…，k求和，得增加的区域一共为：
f(k-1)-f(k)=(k^3-3k^2-8k)/6。
又由f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+...[f(5)-f(4)]+f(4)及f(4)=4得：
f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

所以分成的区域为(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)/24

原帖由士风于2004-10-20, 12:34:27发表
兄台这样太过分了吧。这是舞文弄墨的地方，出些趣味性的迷题尚可，可像这种纯数学的就算了吧。
btw,高考前这种题做的太多了，简单的排列组合，不用递推。