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发表于 2006-9-17 21:49 资料主页文集短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-17 15:56 发表

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小 ...

令f(N)=N^37-N
f(0)=f(-1)=f(1)=0 由因式定理 (N-1)N(N+1)为f(N)因式故2，3|f(N)

由公主证明19,37|f(N)

N^37-N=N^13.N^24 - N^13 + N^13 - N
= N^13(N^24 - 1) + N^13 - N
=N^13(N^12-1)(N^12+1)+N^13-N
= N^13(N^phi(13)-1)(N^12+1) + N^13 - N
=0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小定理) mod 13
因此，13 | N^37 - N。

同理可证，5|f(N)。

N^19-N=N^7(N^phi(7)-1)(N^6+1)+N^7-N
故，7|N^19-N, 因为N^19-N|N^37-N 故7|N^37-N

综上 2,3,5,7,13,19,37均整除N^37-N f(2)>1919190 故1919190|f(N)

[ 本帖最后由青木风亮于 2006-9-17 21:56 编辑 ]

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