概率问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-3-21 13:27 资料短消息看全部作者

首先,易证明在半径为R的圆中最大的等边3角型的边长为√3R,弦L的取值范围为［０，２R],根据几何概率模型,概率P=(2r-√3R)/2r=1-√3/2.

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#2

发表于 2007-3-22 10:36 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-3-21 21:58 发表
诸位有没有考虑过：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2。

反对,L的测度只应该从L本身来考虑,你实际上是做了个映射将L的值域缩小到了半径的值域.

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#3

发表于 2007-3-26 13:11 资料短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 whws 于 2007-3-26 09:01 发表

公主的做法有问题

弦到圆心的长度（弦心距）来测度弦出现的概率是不准确的。弦是以其所对应的弧度来定义的。弧度与弦长是一一映射关系，而弦心距的长度与弧长并不是一一映射的关系（也即其按弧度均匀划分 ...

并不是映射的原因,而是对应的样本空间不一样,公主的样本空间是半径上的点的集合,你们的样本空间是圆周上任意两点的组合的集合,我考虑的样本空间是弦的集合.不同的样本空间有不同的结果,如果题目这样问:在半径为R的圆中,过半径上一点做半径的垂线,求弦长大于根号3的概率,那么1/2是对的,如果是在圆周上任取两点,求过这两点的弦的长大于根号3的概率,那么1/3是对的,,但是题目是任取一弦,求弦长大于根号3的概率,那么我认为应该这样考虑,首先将弦的集合划分为无穷个相等的子集Ai:Ai={任取直径i,圆内所有同直径i相平行的弦}.那么{A1,A2,A3....Ai}构成了原集合的等价划分.任取一个集合An,显然An中的弦被取中的几率是相等的,这些弦对应区间[-2r,2r]其中弦长大于√3的弦对应区间[√3-2r,2r-√3]
所以概率为1-√3.

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