任意三角形能经过若干次减拼成为与原三角形面积相等正方形吗 - 辕门射虎


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#1

发表于 2006-5-24 10:57 资料短消息看全部作者

回复 #6 虎豹狼的帖子

可以的，大致思路是这样的
1、把三角形变成矩形
2、通过和边平行的剪切和拼接把矩形变成长：宽在[9/4,4]之间的新矩形（长宽比很重要）
3、矩形变成平行四边形
4、平行四边形变成正方形
有空我贴个图

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#2

发表于 2006-5-24 11:55 资料短消息看全部作者

回复 #8 尚香的帖子

第一步：先把三角形最长的边放在底下，然后如图

第二步：调整长方形的长宽比例，设原来长宽比例为r,如图的方法将使长宽比例变成4r，如果分成m等分再拼接将变成r*m^2，再通过平分n次宽，可以变成r*m^2/(n^2)，适当选取m和n总可以使这个数在[9/4,4]之间

第三步：如图把长方形变成平行四边形，图中的正方形用来参照

最后一步：如图剪切与拼接，第二步中的长宽比例要求能够使得点4落在1，2之间，点5落在3，4之间

这样的剪切与拼接的确是无缝的，这是比较老的一道数学竞赛题了，这种方法的关键在于[9/4,4]，
如果有兴趣的可以拿张纸自己画（算）一下，里面相似三角形非常多。

btw：这个命题可以稍加推广到任何两个面积相等的多边形彼此都可以通过若干次剪切和拼接得到。

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#3

发表于 2006-5-24 15:33 资料短消息看全部作者

第一楼主并没有要求一定要尺规作图
第二即使要求了尺规作图我的方法也是可以的（当然并不唯一）
估计楼上说第三步里的主要问题出在那条斜线怎么作，也就是正方形的边长怎么求
其实正方形的边长等于矩形两边乘积的平方根，已知a,b,用尺规作sqrt(ab)是很容易的

无非是画一条长度为a+b的线段，作为直角三角形的斜边（圆的直径），线段上定下一点D，分线段为a和b
过这点作线段的垂线，和圆的交点到D的长度为sqrt(ab)

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