想到一道关于对称性的问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-6-13 13:09 资料主页短消息看全部作者

未必啊。可以参考一下构造：集合=X，x 为 X 里的一个元素。
1。令phi = 2*pi*theta, 则用phi去量角度，所有的角度都在0和1之间。
2。先设 X 包括有理集。当 phi = arg(x) 是有理数的情况下，令 |x| = 1。
3。取任何无理数 y，对所有X里的x，当phi = arg(x) + y 的情况下，令|x|= phi。
4。如此类推，可以得出无穷多个有无数条对称轴的二维图形。

简单的说，无穷多个对称轴对于一个有理圆就足够了（圆，但只取有理数角度上的那些点）。然后我们选择任何无理数，把该有理圆旋转无理数角，再放大那么多倍。每一个不同的无理数，都会给我们一个不同的“形状”，而且都有无穷条对称线。因此，楼主所问的情况有无穷多种组合。

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#2

发表于 2006-6-13 13:21 资料主页短消息看全部作者

比如说哈，画两个同心圆，一个半径=1，一个半径=2。然后给第一个圆，“对称地”打无穷多个孔（这里就用到了有理数），把打过孔的相形角度的位置给第二个圆。然后画一个半径=1.5的，继续打孔。在画个半径1.25, 1.75的，再继续打孔。最后这些个千疮百孔的圆，是可以连成一个连续形状的。打孔的角度有无穷多种选择，所以这种形状也有无穷多个。

[ 本帖最后由天宫公主于 2006-6-13 13:22 编辑 ]

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#3

发表于 2006-6-13 14:25 资料主页短消息看全部作者

如果要求Hausdorff dim = 1的话，那么应该只有圆了。我刚刚按个构造，按Hausdorff dimension计算，应该是在1和2之间的一个的一个小数。

Hausdorff dim > 1 因为用一维的 Lebesgue outer measure 去测X等于无穷（X无穷长，不然自身不可能满足拓扑连续性），但由于有理集合可数，所以按二维的 Lebesgue outer measure 去测X，结果又肯定等于0。因此，1 > dim (X) > 2 （两边都是严格不等）。

[ 本帖最后由天宫公主于 2006-6-13 14:29 编辑 ]

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#4

发表于 2006-6-13 14:44 资料主页短消息看全部作者

嗯，补充一下，如果不要求拓扑连续性，那么 X ={x in S^1 : arg(x) in Q} U {x in 2S^1 : arg(x) in Q' } 还是满足 Hausdoff dim = 1 的。因为无理集的Lebesgue 测度和实数没有区别，而有理集的测度永远=0。所以X还是可以被一个一维outer measure 测出来的。但如果要求拓扑连续性 + hausdorff dim = 1的话，那么似乎就真的只有圆了。

注：S^1 = {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 = 1}, 2S^1 = {2 x : x in S^1}.

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#5

发表于 2006-6-13 14:51 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2006-6-13 14:40 发表
刚刚想了一下关于对称的问题得到以下几个结论，如果太trivial了别笑我

1.如果有界平面图形I有两条对称轴则它们必然相交，设夹角为\phi则I是2\phi度旋转不变的。

2.如果有界平面图形I有三条对称轴则它们必 ...

其实对称性就是表现在群结构中。但群结构和拓扑结构（第一个例子）和几何结构（第二个例子）不完全一致，所以才有反例出来。但如果把两个都结合起来，我们其实是在问有多少个一维空间的李群 (up to isomorphism).

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