塌先生2006系列问题08 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-2-26 00:46 资料主页短消息看全部作者

1. 59^2 = 3481

方法: 8位数连续重复3次, 不难想到99990001和9901这两个因子. (事先不知道, 但随便找几个连重三次的八位数一试便知). 把这两个数除掉以后, 剩下的基本上都是小因子了. 其中59和509算比较大的除数, 分解起来可能稍微麻烦了一点.

总之, 602421866024218660242186 = 2*3*7*13*17*37*59^2*509*9901*99990001.

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#2

发表于 2006-2-26 00:59 资料主页短消息看全部作者

2. 602421866024218660242186/(3*59^2) ( = x)

方法: 由以上分解, 穷举可知3*59^2 = 10443是大于10000的x最小因子. 不妨可以把602421866024218660242186写成(x+x+...+x), 10443次. 其中把前9999个加数看成独立的, 把第10000到第10443个加数看成一个数字. 则这一万个加数的最大公约数正好是x.

另, 假设y>x, 且存在另外一组数字: a_1+ ...+ a_10000 = 602421866024218660242186, GCD(a_1, ... , a_10000) = y. 那么一定有: y | 602421866024218660242186, 且y < 602421866024218660242186/10000. 但满足以上两个条件的最大数字是x, 因此推出矛盾, y不存在.

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#3

发表于 2006-2-26 04:25 资料主页短消息看全部作者

3. n + (n+1) + ... + (n+m) = mn+ (m(m+1)/2) = m(n + (m+1)/2).
因此我们需要解不定方程:
m(n + (m+1)/2) = 602421866024218660242186.
此方程一旦确定了m, 那么n便容易推出. 而m这里可以是602421866024218660242186的任何奇除数, 且满足 m(m+1)/2 < 602421866024218660242186.

第二个条件给数数带来诸多不便, 今天就到这吧.

P.S. 如果楼主问的是任何自然数, 那么就不存在最后的这个问题了.

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#4

发表于 2006-2-26 16:59 资料主页短消息看全部作者

60242186*(10^2+10+1)(10^2-10+1)*9901*99990001
= 60242186*10000000100000001 (0 打的多/少一个没准哈~~~)
= 602421866024218660242186

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#5

发表于 2006-2-28 13:23 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由塌鼻子先生于2006-02-28, 12:54:47发表
下面再讲第二问题。

设原24位数为M。由于1+2+…+10000=50005000，找到M的超过50005000的最小因子N，则M/N就是所求。

题目只问到10000个整数之和, 和1+2+...+10000有什么关系?

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#6

发表于 2006-2-28 13:25 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由塌鼻子先生于2006-02-28, 13:01:45发表
第三题，既然M== 2*3*7*13*17*37*59^2*509*9901*99990001，
它的奇因子数为2^8*3=768，所以必有767种方式写成若干个连续正整数之和。

这种数法无法确定一定是正整数之和.

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