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原帖由 俺是马甲于2005-10-22, 23:30:53发表 原帖由天宫公主于2005-10-22, 23:10:17发表
x,y,其他变量都是实数
=================
你对x,y,z做的唯一假设就是它们是实数。那么在N=1的情况下，
x sin A + y sin B + z sin C = 0
对于所有x, y, z应该是恒等的。不明白你说什么不能乱取，x,y,z 哪些值可以取，哪些不可以取，请明确指出。
P.S. 第三题：你要比较 9/8, tan(Pi/4 + 8/145) ? 据我所知，此路没计算器基本是死路(tan(8/145) 应该不易求得)。 我晕,刚刚发贴失败了???
对于你的第三题按我的思路确实很难算
不过,另外三题我觉得你应该没什么好怀疑的吧
另外,你对我的题目还是没理解啊
这么说吧:
对于给定的一组实数,x,y,z,A,B,C,若他们使得
G(1)=G(2)=0,A+B+C=m*Pi (m为整数)
则请证明对这组实数和任意正整数N,有
G(N)=0
这样够直白了吧,你还搞不懂???
由于exp(it) = cos t + i sin t, 我们可以把命题和条件转换成复数式.
条件等价于:
i) Im(exp(ia + ib + ic)) = 0
ii)Im(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic)) = 0
iii)Im[(x*exp(ia))^2 + (y*exp(ib))^2 + (z*exp(ic))^2] = 0
命题等价于: Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] = 0
(其中对于复数w = u + iv, Im(w) = v).
我们用强归纳法证明. 先假设命题对1, 2, ... , n-1成立, 欲证命题对n也成立.
0 = Im [(x*exp(ia) + y*exp(ib) + z*exp(ic))^n]
= Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n + T]
其中T是多项式展开的残余部分.
命题充分调价: 证明Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.
由多项式展开T 由以下部分组成:
Im[(x*exp(ia))^p(y*exp(ib))^q(z*exp(ic))^r]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + qb + rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(i(pa + pb + pc + Qb + Rc))]
= Im[x^p y^q z^r exp(ip(a + b + c)) exp(i(Qb + Rc))]
= 0
其中做了假设, p <= q <= r, Q = q - p, R = r - p.
另外应用条件: Im(exp(ia + ib + ic)) = 0
以上推理当p, q, r皆严格>0时成立. 当其中一个等于零时,
Im[x^p y^(n-p) exp(i(ap + b(n-p)))] + Im[x^p z^(n-p) exp(i (pa + (n-p)c))]
= Im[x^p exp(ipa) (y^(n-p) exp(ib(n-p)) + z^(n-p) exp(ic(n-p)))]
= Im[x^p exp(ipa) (-x^(n-p) exp(i(n-p)a))]
(因为由归纳假设: Im[(x*exp(ia))^(n-p) + (y*exp(ib))^(n-p) + (z*exp(ic))^(n-p)] = 0)
= Im[x^n exp(ina)]
由多项式展开的对称性, 存在同系数项, 通过以上化减得 Im[y^n exp(inb)] 和 Im[z^n exp(inc)].
相加可得: Im[x^n exp(ina)] + Im[y^n exp(inb)] + Im[z^n exp(inc)].
故, Im(T) = Im[(x*exp(ia))^n + (y*exp(ib))^n + (z*exp(ic))^n] 的倍数.
得证! |
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