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天宫公主 (司徒家的颖颖) 虞国公主 ★ 组别 限制发言用户 级别 大将军 好贴 6 功绩 517 帖子 11552 编号 1037 注册 2004-10-25 来自 天津 家族 司徒实业

#1 发表于 2007-4-12 13:07 资料 主页 短消息 看全部作者 古汉魂：忘了怎么扯到无穷大上了，不过有几点我想澄清一下。 １。实数的严格定义是唯一可排序的完整域（unique complete ordered field, up to isomorphism - both in the algebraic and topological sense）。因为域的关系，这个集合里的每一个元素，都必须可以做加减乘除运算（并且符合域公理）。无穷大显然不能达到这个要求，因此实数里没有无穷大。 ２。复数的严格定义如下：令 R[x] 为实系数多项式集，复数是 R[x]/<1+x^2>，也就是 R[x] 除以 1+x^2 的余数 (up to field isomorphism. Exercise: 证明 R[x]/<1+x^2> 的确是一个域)。这个集合里也不可能有无穷大的出现。 注意：国内中学课本上对复数的定义是错误的，课本上说 C = {a + ib | a, b in R, i = sqrt(-1)}. 但事实上存在着一个 field automorphism i : x+iy -> x- iy，使得 sqrt(-1) = i or -i 都可以，并且我们根本无法区分 i 和 -i 的差别。因此，以上定义在逻辑上是不严格的。 ３。那么无穷大是怎么来的呢？我们对复平面做一个 stereographic projection，那么它就可以被映射到一个球体上，但这个球体的“北极点”是空的。我们这时候对此物做一个 topological compactification，直观的理解为把北极点填上。填上的这个点就是无穷大。但这个无穷大和集合理论中，cardinal numbers 里用到的无穷大是不一样的。 ４。你提到了“这些Infinite Cardinal numbers若组成集合，它的Cardinality是什么？”　这个其实不就是 continuum hypothesis 么？这个命题在数学界属于非真非假，倒可以用作反对唯一可能论的例题。 最后承认一下错误，看来确实 |*R|=|R|。估计是当初看到 *R 需要 2^R 来构造，没思考就肯定了 |*R| > |R|　了。 [ 本帖最后由 天宫公主 于 2007-4-12 13:15 编辑 ] [广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布

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#2 发表于 2007-6-9 21:49 资料 主页 短消息 看全部作者 古汉魂: 我从第一楼又看了一遍，不知道什么时候“唯一可能论”就转换成了极限上的唯一可能论。诚然，这个转换并不是空穴来风，因为极限上是往往最容易出现问题的地方。但就此问题，其实有一个很简单的答案，如果 X (underlying space) 是 Hausdorff, 那么极限就是唯一的；如果不是 Hausdorff，那么极限就不是唯一的。这也就间接地阐明了 0.99999... = 1 的必要＋充分条件了，想不让这两个相等，把他们 embed 到一个 non-Hausdorff 空间去就可以了（例如，*R）。而从这个例子，我们可以看出主题问道的“唯一可能性”，(一般的情况下)是需要更多附加条件的。 至于复数的定义，我只是说中学课本的定义是错误的，并没有说教育方法应该变啊。事实上，几乎中学学到所有的知识，都不是完全正确的，上了大学之后有一种修改的意识就可以了。 [广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌

天宫公主 (司徒家的颖颖) 虞国公主 ★ 组别 限制发言用户 级别 大将军 好贴 6 功绩 517 帖子 11552 编号 1037 注册 2004-10-25 来自 天津 家族 司徒实业

#3 发表于 2007-6-25 05:15 资料 主页 短消息 看全部作者 唉，我思区现在 informal logic 的话题越来越多了。 [广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！

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