天平称球 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2008-9-25 18:43 资料主页短消息看全部作者

天平称球

一共有１２个球，其中一个重量和别的不同（但事先不知道是比别的轻，还是比别的重）。
１。在一个天平上称三次，找出那个“坏球”。
２。证明：无论如何都不能只用两次称出坏球。

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#2

发表于 2008-9-26 19:45 资料主页短消息看全部作者

３楼，４楼答案正确。

５楼想法不错，但最好解释一下信息熵和本命题的关系。例如：引理－残余信息熵 > 0，则如何如何．．．

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#3

发表于 2008-9-28 11:22 资料主页短消息看全部作者

crayfish：不好意思，第二问当然是指在所有情况下，都能在两次内称出坏球。

茅延安：决定１３个球是否能在三次内被称出来。。。这个问题很有意思，大家继续讨论。

北风烟雪：哦，其实我想说的是，当一个东西的残余信息为 I 的情况下，对它随便猜一下就能猜中的概率是 p = e^-I （从 I = -log p 得出）。那么当且仅当残余信息等于 0 的情况下，“随便一猜”才必然是正确的结果。

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#4

发表于 2009-1-13 01:40 资料主页短消息看全部作者

今晚有个朋友又问起了这个问题，讨论中发现了一个很有意思的解：

把 12 个球记为：

002，010，011，021，100，102，111，120，202，220，221，212

第一次:
不称: 002 010 011 021
左盘: 100 102 111 120
右盘: 202 220 221 212

第二次:
不称: 002 100 102 202
左盘: 010 011 111 212
右盘: 021 120 220 221

第三次:
不称: 010 100 120 220
左盘: 011 021 111 221
右盘: 002 102 202 212

每次称完记录结果如下:
一样重: 写 0
左边重: 写 1
右边重: 写 2

三次称完的结果应该是一个含有 0, 1, 2 的三位数。如果你可以在球的编号中找到这个数字，那么那个球的重量就和别的球不一样（而且比别的球重）。如果找不到的话，把这个数字里的 1 和 2 调换一下（以前写１的地方全部改２，以前２的全部改１，例如２２１－＞１１２，１０２－＞２０１），这个数字对应的那个球的编号，该球的重量和别的球不一样，而且比别的球要轻。

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#5

发表于 2009-12-14 18:56 资料主页短消息看全部作者

也没什么诀窍了，无非是把称球问题转换成进位制问题了。

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#6

发表于 2009-12-17 19:53 资料主页短消息看全部作者

回复 #30 墨叶的帖子

哦，其实是这样的。两个数 abc, def (a - f 代表 0, 1, 2 这三个数字之一)，如果出现 3 | a+d and 3 | b+e and 3 | c+f，则 abc 和 def 称之为孪生姐妹。由于坏的那个球不知道比好球轻，还是比好球重，那么所选的 12 个编号中，一对孪生姐妹都不能出现。

称重的规则是，第 n 轮就看第 n 个数字，如果是 0 则不称，1 则放左盘，2 则放右盘。因此，所选的 12 个数中，每位数的 0, 1, 2 的出现频率必须正好为四次。

综上两个条件，可得出以下编号：002，010，011，021，100，102，111，120，202，220，221，212　能找出坏球是哪个。

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