比大小 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-8-15 20:41 资料主页短消息看全部作者

比大小

刚刚那个自然数的题似乎没什么难度，再来一个最近被面试的题：

A = 所有数字里有 9 的自然数。比如说，9, 19, 29, ... , 90, 91, 92, ... 都是 A 的元素。

B＝所有数字里都没有 9 的自然数。比如说，1, 2, ... , 8, 10, 11, ... , 18, 20, 21, ... 都是 B 的元素。

S ＝ \sum_{x in A} 1/x = 1/9 + 1/19 + ... + 1/89 + 1/90 + ...
T = \sum_{x in B} 1/x = 1/1 + 1/2 + ... + 1/8 + 1/10 + ...

问：S, T 之间哪个大？

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#2

发表于 2007-8-16 21:27 资料主页短消息看全部作者

给大家一个提示，在所有 n 位数的自然数中，其十进位表示没有９的占 (9/10)^n -> 0，当 n->无穷大。

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#3

发表于 2007-8-16 22:35 资料主页短消息看全部作者

两个级数都发散的怎么比？

This statement needs a proof.

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#4

发表于 2007-8-17 10:22 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 edyswghe 于 2007-8-17 02:24 发表
4楼的哪里不对了？
1+1/2+1/3+……是发散的,设为A
而S的任意有限加和=1+1/9+1/19+……+1/89+1/90+……1/99+……〉1+1/10+1/20+……+1/90+1/100+……=1/10*（A的有限加和）是发散的
对于任何有限项加和，T> ...

天机不可泄露

不过这个"证明"的严谨程度, 和我之前证明所有自然数相等的差不多。

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#5

发表于 2007-8-17 20:39 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2007-8-17 12:10 发表
12F, N位数中任意一位含有9就属于A集合了
好像T是有限的,这个粗略地看确实难以想到:
根据公主的提示,T中N位数的部分和 T_N < (10^N)*(0.9^N)/(10^(N-1))=10*(0.9^N)
T=ΣT_N<90
对么?

嗯，是这样的。 S 发散，T 收敛。
其实可以证明 T ＜ 23 (面试我的人后来告诉我的)，不过我面试的时候也是证出 T<90 （等比数列比较好加，反正只要得出 T 收敛就过关）。

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#6

发表于 2007-9-28 15:33 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2007-9-9 22:49 发表

nod,
不等式和女人一样,都要"紧"些比较好

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