数论趣题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-9-16 23:46 资料主页短消息看全部作者

数论趣题

求证：对任何自然数 n，1919190 可以被 n^37 - n 整除。

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#2

发表于 2006-9-17 00:37 资料主页短消息看全部作者

会，三天内没有人答出的话，我会给提示。

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#3

发表于 2006-9-17 13:49 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-9-17 10:18 发表
MS2者写反了

Umm.... Prove that for every positive integer n, 1919190 divides n^37 - n.

大家爱怎么翻译怎么翻译吧，我也不知道写反了没有。

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#4

发表于 2006-9-17 15:56 资料主页短消息看全部作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-9-17 10:43 发表
1919190=2*3*5*7*13*19*37
N^37-N=N(N+1)(N-1)(N^2+1)(N^2-N+1)(N^2+N+1)(N^4-N^2+1)(N^6+N^3+1)(N^6-N3+1)(N^12-N^6+1)
偶刚初一啊，大师们多指教，不知分解的对不对，希望对各位有参考

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小定理) mod 19
因此，19 | N^37 - N。

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#5

发表于 2006-9-17 23:45 资料主页短消息看全部作者

青木正解，基本上就是这样的。

其实拿归纳法硬算也不是没希望的。

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