轩辕春秋文化论坛 » 辕门射虎 » 最最基本的物理题——这回是我的物理老师傻掉了！！

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标题: 最最基本的物理题——这回是我的物理老师傻掉了！！
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#1
发表于 2006-8-25 23:30 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ
楼主的问题和以下问题“基本”等价（基本的意思是，想明白以下问题，也就能想明白楼主的问题了）。
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这个序列无限下去，最终成为一条斜线。每个序列的总长度都是２，但斜线的总长度是sqrt(2)。换句话说，这个序列的长度为 2,2,2,...（到无穷后）, sqrt(2). 由于极限和序列出现不连续性，所以对于极限的长度问题，不能取序列长度这个数列的极限，而应该单独考虑．楼主提出的关于压强问题，其实也是这个原理，在极限的位置出现了不连续性．

这个现象在 L^2 norm 的情况下普遍存在。而恰恰 SO(n), SU(n) 等群又只能在 L^2 norm 下保持 isometry 特征（可以把这些群想象成 n 维球体，L^2 norm 想象成勾股定理关于斜边的长度）。至于说为什么大自然选择了L^2做物理测度（i.e. 为什么自然界的球体看着像圆的，而不像方的？），这个在量子场论上还是一个未能彻底解决的难题．

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-25 23:41 编辑 ]


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#2
发表于 2006-8-26 17:24 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ
求积分也没用，因为数列根本不收敛。


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#3
发表于 2006-8-27 00:57 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ


QUOTE:
原帖由 瓦灰 于 2006-8-26 18:47 发表
为什么要把简单的问题搞复杂呢?其实第二个问题就是个分成小量后求斜面面积的积分,你放到直角坐标系里,就会很容易的发现你的积分区域选错了.

简单的计算谁都会做，关键是是否能理解为什么一个{2, 2, 2, 2, .... }的数列，它的“极限”会成为 sqrt(2)。这也正是楼主问题中出现疑难的环节。

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-27 01:16 编辑 ]
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#4
发表于 2006-8-28 21:35 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ


QUOTE:
原帖由 lcarron78 于 2006-8-27 05:09 发表
不明白为什么这个序列无限下去，最终成为一条斜线。它只是更近似斜线而已。我认为近似和极限是不同的概念。这个序列无限下去，它的总长度恒定是2， 并没有出现趋近的行为，也就没有“极限”。倒是单一段的长度趋近 ...

楼梯蹬的样子，如果写成函数表示的话，是： y = [nx]/n (同时把竖着的跳跃部分连起来)。当 n -> 无穷，y -> x，该线倾向于一条斜线。

证：对任意 epi > 0, |[nx]/n - x | = |[nx] - nx|/n. 对于任何实数 a, 有|[a] - a| < 1，故而 |[nx] - nx|/n < 1/n. 因此，令 M = 1/epi，则对于任意 epi > 0, |[nx]/n - x| < epi 对于所有 n > M 成立。由于 M 只是关于 epi 的函数（与 x 无关），因此 [nx]/n ----> x 是 uniform convergent （一致收敛）。

从这个角度上，当楼梯蹬的蹬数倾向于无穷，它是可以收敛成一个斜面的。但有趣的是，在收敛之前的任何一个瞬间，楼梯蹬的总长度为2，而收敛后的总长度突然降到 sqrt(2)。

[ 本帖最后由 天宫公主 于 2006-8-28 21:39 编辑 ]
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#5
发表于 2006-9-29 22:57 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ
这不是什么永世难题，它无非表明了拓扑收敛和测度收敛两者无关而已。当然，在物理上如何彻底的解释，为什么初等粒子会自然的去选择 L^2 测度，而不去选择别的测度，也许是个很值得探讨的问题。
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发表于 2007-5-12 16:13 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ
没什么奇怪的啊，一套是测度论的公理，一套是点集拓扑的公理，两个如果没有任何冲突才奇怪呢。要真的没有任何冲突，为什么不合并成一套公理啊？
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发表于 2007-6-5 22:50 资料 主页 短消息 看全部作者 QQ
这个。。。说不同也可以说不同，说相同也相同。。。关键是我们不知道为什么物理世界选择了 L^2 测度作为我们习惯的“距离”。这个问题无论在数学界，还是物理界都是没有解答的问题。记得是波尔吧，曾经说过“如果谁认为自己懂量子理论，谁就是个大傻瓜。”。。。这其中也包括能否对 L^2 测度问题，给出一个合理的解释。
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