回复 #200 武骧金星 的帖子
= 我真的不知道是什么意思, 因为具体的空间都有具体的定义.
例如, 数学上对函数 f = g 怎么才算成立, 就争论了 200 多年. 最初的想法很简单, 只要 f(x) = g(x) 对于所有 x 就可以了(对于具体的 x, 判断 f(x) 是否"=" g(x), 需要用实数意义上的"="来判断... 虽然这个也是一个被争论了几百年的问题...).
但后来发现这样定义有问题, 就是一些本来该收敛的函数, 按照这样去定义其实是不收敛的. 本来该有完整拓扑性的函数空间, 按照这个相等定义却是千疮百孔. 因此, 测度论里面就产生了新的定义, 只要: 积分 (|f(x) - g(x)|) dx = 0 (从负无穷到正无穷), 那么就说 f = g. 然后拿这个定义去检验三公理, 发现没问题, 所以新的相等定义就出现了.
再后来是发现一些代数特征还不完整, 例如按以上的定义, 函数空间的卷积分环就是一个没有幺元素的环(这样的代数结构很不好, 搞调和分析+偏微分方程时很讨厌). 怎么办呢? 再次修改 f = g 的定义. 先定义一个测试集合 S, 只要对于 S 里的所有函数 s, 积分( f(x)s(x) ) dx = 积分( g(x)s(x) ) dx, 则 f = g. 然后拿这个定义去检验三公理, 发现没问题, 所以新的相等定义就出现了.
这个新定义其实最好玩, 因为现在 f 怎么等于 g 其实取决于怎么选 S. 而且现在已经有一大批证明了的定理, 告诉我们取什么样的 S 会得出什么样的结果....
现在你告诉我 = 和 等价 的本质区别是什么? 其实就是 class 和 member 的区别而已.
[ 本帖最后由 颖颖 于 2015-3-7 16:17 编辑 ]
|
