帮助某些不合格教师科普一下三角知识 - 辕门射虎


	穎穎 (司徒家的穎穎)

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#1

发表于 2015-2-10 19:08 资料短消息只看该作者

帮助某些不合格教师科普一下三角知识

我们将用以下习题，来证明欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 只依赖于

I，对 exp(x) 的级数展开
II，exp(x) 的导函数还是 exp(x)

尤其是，这里不会用到 sin(x) 和 cos(x) 的导函数。

已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
则 f(x) = exp(ix) = (1 - x^2/2! + x^4/4! -...) + i (x - x^3/3! +... )
令实数部分为 g(x), 虚数部分为 h(x)，欲证 g(x) = cos(x)，h(x) = sin(x)。

习题 1，计算 f(0)
习题 2，证明 abs(f(x)) = 1
习题 3，证明 abs(f'(x)) = 1
习题 4，证明 f(0) 到 f(x) 之间的弧长为 x。
习题 5，解释为什么习题 1-4 足以证明 g(x)=cos(x), h(x)=sin(x)。

P.S. 哪里用到倍角公式了？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 19:31 编辑 ]

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	墨叶


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#2

发表于 2015-2-10 19:33 资料个人空间短消息只看该作者

已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

这个高中就没学。

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#3

发表于 2015-2-10 19:37 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 19:33 发表
已知 exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

这个高中就没学。

笑，exp(x) = lim_(n to infty) (1 + x/n)^n 总学过吧？不会二项式展开么？

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#4

发表于 2015-2-10 19:40 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #3 穎穎的帖子

高中课本没学。
高中的导数非常简单，而且现在很多地方高中对导数又不做要求了。
比如浙江2015年就不考导数了。

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#5

发表于 2015-2-10 19:41 资料个人空间短消息只看该作者

另外，你说别人记公式，你还不是需要记exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
或 exp(ix) = cos(x) + i sin(x)。

如果都不记，你的推导速度未必更快。

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#6

发表于 2015-2-10 20:11 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 19:41 发表
另外，你说别人记公式，你还不是需要记exp(x) = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
或 exp(ix) = cos(x) + i sin(x)。

如果都不记，你的推导速度未必更快。

我们应该把问题分开讨论...

1) 完全从教孩子的角度来说, 多教一个欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 没什么难的，而且我不信高中目前不教这个。从这个公式推导其他的，比现在的教法容易太多了。你作为现任教师，更应该虚心学习自己还不懂的知识，因为跟我拌嘴而误人子弟可就不好了。

2) 你想刁难我的问题，无非是想说明欧拉公式的核心，其实还是 sin(x), cos(x) 的导函数，而这两个导函数从最根本的 lim_{h -> 0} (sin(x+h) - sin(x)) / h 推，需要用到和差转积公式。我现在明确告诉你，你打错算盘了。欧拉公式可以几乎不依赖任何三角知识就能推出来。

3) 都说中国教育不会教孩子独立思维，这个问题足以证明老师自己就没有独立思维。我每次跟人讲到这一块，都会叹为观止一下，因为浓缩了那么多三角知识的一个公式，竟然可以完全用代数方法证出。太神奇了！

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 20:23 编辑 ]

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#7

发表于 2015-2-10 20:24 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 20:11 发表
完全从教孩子的角度来说, 多教一个欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 没什么难的，而且我不信高中目前不教这个。从这个公式推导其他的，比现在的教法容易太多了。你作为现任教师，更应该虚心学习自己还不懂的知识，因为跟我拌嘴而误人子弟可就不好了。

如果用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。你作为一个人，不应该强不知以为知，随便质疑专业人士，牺牲别人的利益，来逞一时口舌之快，图一个面子。

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#8

发表于 2015-2-10 20:27 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 杏花疏影 于 2015-2-10 20:24 发表

如果用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。你作为一个人，不应该强不知以为知，随便质疑专业人士，牺牲别人的利益，来逞一时口舌之快，图一个面子。

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，另一方面又鼓吹：用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。

也算一奇

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#9

发表于 2015-2-10 20:28 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #6 穎穎的帖子

现在高中（大部分，有些可能有例外）所有的三角函数公式都可以直接推导。其中初始公式COS(A-

是由余弦定理推导的。
其他公式都是可以由此公式推导。
并不比你说的方式难。而且这一章结尾有总结公式的相互推导。
现在高中的三角函数公式都非常简单容易推导，并不存在你所说的死记硬背。
你认为高中三角函数需要死记硬背只能说明你高中三角函数没学好。

不是多一个公式的问题，要理解欧拉公式就需要展开讲。
比如现在浙江取消导数，主要原因是大部分高中生对导数只会死记公式，高考题型也很单一。

欧拉公式可以不依赖任何三角知识就能推出来，如果推导过程超过高中生的理解能力，高中就没必要教。

后来我与你纠结欧拉公式的推导，是我欠考虑。
因为根本不需要考虑欧拉公式的推导与应用。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 20:30 编辑 ]

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#10

发表于 2015-2-10 20:35 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 20:27 发表

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，另一方面又鼓吹：用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。

也算一奇

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，--------------抱歉，我没有说过这话，麻烦拿出证据来；

用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的，---------------抱歉，这不是我鼓吹，这是现行的考试制度。

PS，在轩辕自己树一个靶子，再打倒，已经是极难得的了，如果树起两个靶子再打倒，只能说是天外来客，我万万没有想到，在有生之年，能与外星人进行所谓的交流。

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#11

发表于 2015-2-10 20:35 资料个人空间短消息只看该作者

以浙江为例。
和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式都不要求了。
只有余弦和差、正弦和差、正切和差、倍角、正弦余弦的半角（其实就是倍角倒推）。

不知道那里存在难以推导必须要死记的公式。

一般我会要求学生死记正弦和、余弦和（或余弦差）的公式，因为这2个推导稍微麻烦点。

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#12

发表于 2015-2-10 20:41 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 20:27 发表

有些人一边骂中国教育出来的孩子没有独立思维，另一方面又鼓吹：用课本没有教过的知识来解题，考试是不得分的。

也算一奇

学生的独立性与老师的因材施教也有关系。
对所有的学生都用同一个标准的必然不是好老师。

现在中国高中已经是偏难。尽量不要用课外的知识给学生增加负担。

现在的三角函数公式已经少很多简单很多，还有学生不能推导。
这很正常，因为有些人就不擅长数学。让他们死记几个公式也合理。
如果没有推导能力，也缺乏高效率的记忆能力。高考就没必要去参加了，混混毕业拉倒。

你在不了解现在高中三角函数公式的具体情况下，盲目指责是不对的。

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	小贩 (仙子！请自重……)

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#13

发表于 2015-2-10 20:42 资料主页个人空间短消息只看该作者

1、不许忽悠人..............
2、快过年了的。。
3、要不，你们三国杀去吧。要不用争端解决器.

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#14

发表于 2015-2-10 20:44 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 20:28 发表
现在高中（大部分，有些可能有例外）所有的三角函数公式都可以直接推导。其中初始公式COS(A-

是由余弦定理推导的。
其他公式都是可以由此公式推导。
并不比你说的方式难。而且这一章结尾有总结公式的相互推导 ...

脸都被抽成那样了还死撑着？也好，我推 sin(a+b) 和 cos(a+b) 各用了两行计算。您从余弦定理推，限制两行推完。您请，这边请！

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#15

发表于 2015-2-10 20:45 资料个人空间短消息只看该作者

“和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式

-----------------

以上几个公式, 根本上都是来自于 e^(i x) = cos(x) + i sin(x) 这一个公式.

例如倍角公式, e^(i nx) = cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x))^n

其实就是一个简单的代数展开+合并同类项, 真的不理解为什么中学课本上要讲那么复杂.”

这个是你的原话。
如果你知道现在高中(已经除了和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式）的推导是多么简单，就不会说这样外行的话。
就算是以前，全国教材统一的时候，也是没有学导数的。
那时候确实要记得三角函数公式会多些，但是推导难度也不大。

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#16

发表于 2015-2-10 20:48 资料短消息只看该作者

继续欠揍，我就再戳你个盲点

不是多一个公式的问题，要理解欧拉公式就需要展开讲。
比如现在浙江取消导数，主要原因是大部分高中生对导数只会死记公式，高考题型也很单一。

欧拉公式可以不依赖任何三角知识就能推出来，如果推导过程超过高中生的理解能力，高中就没必要教。

--------------------

请问高中教对数不？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 20:52 编辑 ]

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#17

发表于 2015-2-10 20:50 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 20:45 发表
这个是你的原话。
如果你知道现在高中(已经除了和差化积＼积化和差＼万能公式＼三倍角公式＼半角公式）的推导是多么简单，就不会说这样外行的话。
就算是以前，全国教材统一的时候，也是没有学导数的。
那时候确实要记得三角函数公式会多些，但是推导难度也不大。

那么简单就拿出来晒晒呗，记住哦，两行计算。

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#18

发表于 2015-2-10 20:58 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #14 穎穎的帖子

你从哪里开始推导？

高中之后肯定要记些公式，记欧拉公式和余弦和差公式没有本质区别。

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#19

发表于 2015-2-10 21:00 资料短消息只看该作者

回复 #18 墨叶的帖子

你不是说能轻松推出 sin(a+b) 么？

说真的，你拿欧拉公式给学生们推一次，他们会感谢你的。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 21:02 编辑 ]

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#20

发表于 2015-2-10 21:03 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #19 穎穎的帖子

COS（A-

，高中这个算基本公式，其他都可以由此推导，当然开始学三角函数的时候会教。
从COS（A-

推导SIN(A+

当然简单。

[ 本帖最后由墨叶于 2015-2-10 21:05 编辑 ]

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#21

发表于 2015-2-10 21:05 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 21:03 发表
COS（A-

，高中这个算基本公式，其他都可以由此推导，当然开始学三角函数的时候会教。
从COS（A-

推导SIN(A+

当然简单。

推一个看看啊

P.S. 别告诉我你基本功不扎实，连最基本的该背哪个都没搞清楚？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 21:09 编辑 ]

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#22

发表于 2015-2-10 21:16 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #21 穎穎的帖子

我们不妨比一比，你用欧拉公式，我用余弦差的公式。
来推导高中数学的其他三角函数公式。
看谁的简单易懂。

现在高中的三角函数公式如下，重复的就不列了。这里用PQ代替AB。
sin(p+q)
tan (p+q)
sin2p cos2p tan2p
Asinp+Bcosq
sinp+sinq
cospsinq
万能公式(3个）
正切半角公式(3个公式）

可以各自在WORD上弄好，截图比较。

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#23

发表于 2015-2-10 21:23 资料短消息只看该作者

回复 #22 墨叶的帖子

重复的为什么不列了？害怕欧拉公式一次推俩么？无所谓了，不差你这点便宜。

另外我建议赛制这样来，

第一个，你先推
第二个，第三个，我先推
第四个，第五个，你先推
第六个，第七个，我先推
第八个，你先推

至今还没看到推任何实质性东西，需要表示一点诚意啊。

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#24

发表于 2015-2-10 21:30 资料短消息只看该作者

回复 #22 墨叶的帖子

或者你把我之前出的两道习题做了也可以。。。

1，展开 tan(a1 + ... + an)
2，展开 tan(nx)

总之你得先拿出点东西来。

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#25

发表于 2015-2-10 21:40 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #23 穎穎的帖子

没问题。

sin(p+q)=cos(π/2-p-q)
=cos(π/2-p)cosq+sin(π/2-p)sinq
=sinpcosq+sinqcosp

我说的重复是指下面这些。没必要浪费时间。
sin(p-q)=sin(p+(-q)=sinpcos(-q)+sinqcosp=sinpcosq-sinqcosp

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#26

发表于 2015-2-10 22:07 资料短消息只看该作者

回复 #25 墨叶的帖子

不是浪费时间, 关键是我一次推两个公式, 无所谓了...

1, exp(i(p+q)) = (cos(p)+i sin(p))(cos(p) + i sin(q))
= cos(p)cos(q)-sin(p)sin(q) + i(sin(p)cos(q) + cos(p)sin(q))
比较实数虚数部分可得 sin(p+q) 和 cos(p+q)

2, 由 1),
tan(p+q) = sin(p+q)/cos(p+q)
= (sin(p)cos(q)+cos(p)sin(q)) / (cos(p)cos(q)-sin(p)sin(q))
= (tan(p) + tan(q))/(1 - tan(p)tan(q))

3, 令 q = p, 1) => sin(2p) = 2sin(p)cos(p), cos(2p) = cos^2(p) - sin^2(p), 2) => tan(2p) = 2 tan(p) / (1 - tan^2 (p))

-----------------------------

该你推 2, 3, 4, 5 了。预祝好运，不要杯具了哦。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 22:42 编辑 ]

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#27

发表于 2015-2-10 22:51 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #26 穎穎的帖子

你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN((P/2+Q/2)+(P/2-Q/2))+SIN((P/2+Q/2)-(P/2-Q/2))=...=SIN(P/2+Q/2)cos(P/2-Q/2)。
中间太长省略。

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#28

发表于 2015-2-10 22:52 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:51 发表
你2、3怎么不用欧拉公式。
教科书上也是如此推导2、3的。我就不重复了，不信你去翻教科书。

第4个前面打错了。
Asinp+BcosP=√(A^2+B^2)sin(P+R），其中tanR=B/A。中间还有1步太麻烦了。
sinp+sinq=SIN(( ...

2，3 如果你不借鉴 1) 我也可以不借鉴，直接拿欧拉推，估计还是比你快。
4，按第一版来用欧拉很简单，你想见识一下么？

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-10 22:59 编辑 ]

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#29

发表于 2015-2-10 22:53 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由穎穎于 2015-2-10 21:00 发表
你不是说能轻松推出 sin(a+b) 么？

说真的，你拿欧拉公式给学生们推一次，他们会感谢你的。

不看学生的具体情况，只会用自己的一套强行让学生接受，并不是合格的教学方式。

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#30

发表于 2015-2-10 22:59 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由墨叶于 2015-2-10 22:53 发表

不看学生的具体情况，只会用自己的一套强行让学生接受，并不是合格的教学方式。

不懂问题的本质，只会照本宣科，才是误人子弟！

为什么中国教育系统只会培养考试人才，就是你这样的老师太多了！

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