这个问题的障眼法在哪里zt - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	reynolds_wwy

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#31

发表于 2006-6-29 09:00 资料短消息只看该作者

回复 #29 lcarron78 的帖子

又想了想，可能这样解释在第一次选A的情况下P(车在A中|开C门)=1/2更能说服人

还是沿用公主的bayes thm的语言。

原来之所以是1/2是因为作为抽奖者他并不知道主持人开门遵循怎样的规律，所以开另两扇门的可能性是一样的。

我们换一个情境来做这个问题，假设抽奖者在事先通过某种手段了解到了主持人的开门方法，比如主持人总是开A,B,C中第一扇可以开的门，那么问题的答案就不再是1/3-2/3了，我来具体计算一下。

1、假设抽奖者第一次选择了A

那么P(车在A中|B门被打开)=P(车A and 门B)/P(门B)=[P(门B|车A)*P(车A)]/[P(门B|车A)*P(车A)+P(门B|车B)*P(车B)+P(门B|车C)*P(车C)]=(1*1/3)/(1*1/3+0*1/3+1*1/3)=1/2

P(车在C中|B门被打开)=[P(门B|车C)*P(车C)]/[P(门B|车A)*P(车A)+P(门B|车B)*P(车B)+P(门B|车C)*P(车C)]=(1*1/3)/(1*1/3+0*1/3+1*1/3)=1/2

P(车在A中|C门被打开)=[P(门C|车A)*P(车A)]/[P(门C|车A)*P(车A)+P(门C|车B)*P(车B)+P(门C|车C)*P(车C)]=(0*1/3)/(0*1/3+1*1/3+0*1/3)=0

P(车在B中|C们被打开)=[P((门C|车B)*P(车B)]/[P(门C|车A)*P(车A)+P(门C|车B)*P(车B)+P(门C|车C)*P(车C)]=(1*1/3)/(0*1/3+1*1/3+0*1/3)=1

以上是第一次选择A的所有情况，我们看到了抽奖者此时针对主持人开门的不同，是否改变初始选择造成的结果也不同，如果B门被打开，那么是否改变选择得到车的概率均为1/2，如果C门被打开，那么显然应该改变第一次的选择，这和客观经验符合得很好。注意那两个蓝色的1在原来的题目中应该是1/2，因为抽奖者并不知道主持人的心理。

2、假设抽奖者第一次选择了B

和上面相同的计算可以得到
P(车在B中|A门被打开)=1/2
P(车在C中|A门被打开)=1/2
P(车在B中|C门被打开)=0
P(车在A中|C门被打开)=1

所以如果C门被打开，一定换，A门被打开的话换不换得奖概率都是1/2

2、假设抽奖者第一次选择了C

也是类似的计算得到
P(车在C中|A门被打开)=1/2
P(车在B中|A门被打开)=1/2
P(车在C中|B门被打开)=0
P(车在A中|B门被打开)=1

所以如果B门被打开，一定换，A门被打开换不换得奖概率都是1/2

4、总结

罗罗嗦嗦说了一大堆，我只不过是想表明那个有争议的1/2究竟是怎么回事，而这个例子的极端情形（就是那些概率等于1或者0）可能更容易想明白一些。而且我们看到在这个例子下，根据主持人开门的不同，对策是不一样的。当然，如果抽奖者得到的信息没有这么明确（比如他知道主持人在有选择的情况下会以75%的概率开前一扇门），那么也可以算出相应的结论来。

回到原来的题目，如果抽奖者不知道主持人的心理的话，那么无论初始选的是A，B还是C，在主持人开了一扇门后，不改变选择得到车的概率是1/3，改变选择得到车的概率是2/3。

但是这样的一个例子也告诉了我们一个事实：就是1/3-2/3中的那个1/3并不是因为第一次选择时三扇门后有车的机会均等所以才是1/3的。实际上抽奖者在第二次选择之前，根据主持人的行为他“知道”车究竟在哪扇门背后的概率发生了变化，只是原先的例子中，这个变化变进变出恰好还是1/3而已，所以并不是每个回答1/3-2/3的人所想的理由都是正确的（事实上大多数人的理由是似是而非的，当中应该还加上一些数学上的可能性相等的说明）。

5、题外话
这道题目当然还可以变，比如门多一些，比如事先抽奖者知道车放在哪扇门背后的机会不均等，诸如此类，但是这些都能够通过严格的bayes thm计算出结果来，算式都是类似的。

作为一个专业是Math（不是Statistics）的学生，我在高中的时候就接触到了这个问题，惭愧的是期间我的想法也发生了多次改变，而且似乎总是找不到一种能完全说服自己的道理，今天沉下心来算了一算才总算自己把自己说通了。可见学术上的争辩总是有些好处的:)

有错的地方欢迎大家拍砖:)

[ 本帖最后由 reynolds_wwy 于 2006-6-29 18:08 编辑 ]

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	lcarron78

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#32

发表于 2006-6-30 09:26 资料主页个人空间短消息只看该作者

从这样的角度看，
第二次要不改而选对，就必须第一次选对，其概率是1/3。
第二次要改而选对，就必须第一次选错，其概率是2/3。
如果第一次有无穷个，那么第一次选对的概率是0，而第一次选错的概率是1。所以第二次一定要改才能选对。
这个观点跟 LZ 的回复观点2相似。

如果这样没错，那么我在前面的帖子里都算错了。

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-6-30 13:29 编辑 ]

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	reynolds_wwy

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#33

发表于 2006-6-30 09:41 资料短消息只看该作者

回复 #32 lcarron78 的帖子

-___-b
严格的说观点2仅仅是结论正确而已，推理过程并不严密的

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#34

发表于 2006-6-30 17:18 资料短消息只看该作者

我觉得这个问题的关键在于那个主持人身上。
既然她是知道哪个是车，哪个是山羊，那么她选中山羊的概率为1，即不是一般意义上讲的随机事件，故不能用概率论算出是75％。
所以我认为和第一次选择是无关的。

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	lcarron78

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#35

发表于 2006-6-30 18:14 资料主页个人空间短消息只看该作者

写了个小程序.

param choose; param left; param car; param change; let change := 0;

for {1..1000000}{ let car := trunc(Uniform(1,4)); let choose := 1;

if choose = car then { let left := trunc(Uniform(2,4)); } else { let left := car; }

let choose := left ; ## 玩家改变选择.

if choose = car then {let change := change + 1 ;}
}

display change;

change = 665745

虽然电脑的随机数并不真正随机,但change 的数值显示玩家改变选择中奖的机率大.

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	crayfish

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#36

发表于 2006-6-30 18:31 资料文集短消息只看该作者

程序是没有多大意义的，计算过程并不复杂，疑惑的是思维的角度，即算法决定了结果。

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#37

发表于 2006-6-30 18:32 资料主页短消息只看该作者

Fortran

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#38

发表于 2006-6-30 18:42 资料短消息只看该作者

回复 #34 zhangrui 的帖子

请看完31楼再说，这个问题我想我已经解释清楚了

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	zhangrui

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#39

发表于 2006-6-30 19:14 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 reynolds_wwy 于 2006-6-30 18:42 发表
请看完31楼再说，这个问题我想我已经解释清楚了

也不知道为什么搞的这么复杂，连条件概率都出来了（虽然明年去考研...），但是个人感觉还是简单考虑为好...

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#40

发表于 2006-6-30 20:05 资料短消息只看该作者

本来就是条件概率的题。

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	zhangrui

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#41

发表于 2006-6-30 20:29 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 智商250 于 2006-6-30 20:05 发表
本来就是条件概率的题。

那观点2的算法不是很合适吗？

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	智商250

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#42

发表于 2006-6-30 20:40 资料短消息只看该作者

合适么?

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	鲍伯 . 迪伦


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#43

发表于 2006-7-1 02:09 资料个人空间短消息只看该作者

路过插一句话: 这道题早就解了，就是天宫公主的答案。

[ 本帖最后由鲍伯 . 迪伦于 2006-7-1 02:12 编辑 ]

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#44

发表于 2006-7-1 06:07 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #36 zhangrui 的帖子

AMPL. 其它的语言都可以，如MATLAB等。
从编程的思维角度可看到，只有第一次的机率被使用了。

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	zhangrui

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#45

发表于 2006-7-1 13:40 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 lcarron78 于 2006-7-1 06:07 发表
AMPL. 其它的语言都可以，如MATLAB等。
从编程的思维角度可看到，只有第一次的机率被使用了。

确实，经过了一晚上的思考，改变了原来的观点，因为忽视了第一次选择的概率。

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#46

发表于 2006-7-3 00:50 资料短消息只看该作者

个人还是以为变和不变都是1/3

第一次选为1/3,那掉一个后如不换,则概率原先决定,维持1/3不变,如换,要中的先决条件是原先选的不中,即2/3*1/2=1/3

那个彩票的题误导在选择的数量上,这里是3选1才正好2个相等,4个以上选的话显然后者几率大

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#47

发表于 2006-7-10 21:36 资料短消息只看该作者

如果坚持自己的选择的话,那选中的几率是1/2.(为什么楼上N楼都会认为是1/3呢?另外一个山羊已经排除了.这难道就是障眼法所在?)

如果不坚持自己的选择的话,选中的机会也是1/2.因为还是排除了一个山羊.

请大家仔细读题.

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	ywz88490849

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#48

发表于 2006-7-12 22:04 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由藩宫于 2006-7-10 21:36 发表
如果坚持自己的选择的话,那选中的几率是1/2.(为什么楼上N楼都会认为是1/3呢?另外一个山羊已经排除了.这难道就是障眼法所在?)

如果不坚持自己的选择的话,选中的机会也是1/2.因为还是排除了一个山羊.

请大家仔 ...

选中的概率在最初选的时候已经决定了，和后来剔除无关项无关，有如买彩票，１００００００张号码中１，你买了一张后，剔除剩下的９９９９９９中的９９９９９８张不中号码，不重新选的话你认为中奖的概率是１／２吗？

[ 本帖最后由 ywz88490849 于 2006-7-12 22:10 编辑 ]

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	ywz88490849

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#49

发表于 2006-7-12 22:20 资料短消息只看该作者

刚才又想了一下，确实不改是1/3，改了是2/3

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#50

发表于 2006-7-18 22:52 资料短消息只看该作者

如果第一次选错了,主持人只能无条件的打其中开一扇门(限制性选择);
如果第一次选对了,主持人可以任选一扇门打开中开一扇门(非限制性选择);

所以应该...不知道,呵呵

想了想:
第一次选错了: 2/3-----主持人只能无条件的打其中开一扇门(限制性选择);===达成此种状态的概率:2/3*1=2/3
第一次选对了: 1/3-----主持人可以任选一扇门打开中开一扇门(非限制性选择);===达成此种状态的概率:2/3*1/2=1/6
所以要改选

[ 本帖最后由 Dragunov 于 2006-7-18 23:06 编辑 ]

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#51

发表于 2006-7-28 22:22 资料短消息只看该作者

jielun 2/3

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	错过一个繁华

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#52

发表于 2006-10-14 22:01 资料短消息只看该作者

回复观点1：

变与不变，都是一样的几率

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#53

发表于 2006-11-9 23:29 资料短消息只看该作者

我也来说几点，首先，第一次选择的时候，三个门里面只有一个是藏有奖品的，所以选对的可能性比选错的可能性要小，分别是2：1。第二次主持人去掉一个错的以后，基于你第一次选择的门没有奖品的可能性比较大（2/3可能是错的），所以你要不要改变选择呢？
其实这个是很难抉择的问题，概率事件只有置于很大基数的前提下才呈现其规律性，单单我这一次行为，其概率差别仅仅为三分之一而已。就算百分之一的概率都会有可能中，换于不换在你个人啦

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#54

发表于 2006-11-11 09:39 资料文集短消息只看该作者

应该庄家给了你两次机会
第一次概率是1/3
第二次概率是1/2
现在问你改不改，它的含义和让你重新选择没有什么区别啊~！
不论改不改概率都由1/3变为了1/2~！

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#55

发表于 2006-11-11 13:22 资料个人空间短消息只看该作者

两次选择不是独立的随机事件，所以要用条件概率计算。

很佩服天宫公主和reynolds_wwy的耐心。

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#56

发表于 2006-11-11 15:44 资料短消息只看该作者

这个问题一直深深的困惑着我

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#57

发表于 2006-12-10 19:13 资料主页短消息只看该作者

改的几率大一点
举个现实的例子6个罐子里面有5条蛇，让你找没有蛇的那个
你先选一个，然后别人把剩余的5个中的4个装有蛇的罐子拿开，还剩一个，让你再选一次

那么几率问题就变成了由6选1到2选1了，你不被蛇咬的几率也就大大提升了
题目中的障眼法在于3个门。因为数量少，所以没有很多人考虑的选择几率问题

至少我是这么理解的，如果错了，别拍

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#58

发表于 2006-12-10 19:22 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由藩宫于 2006-7-10 21:36 发表
如果坚持自己的选择的话,那选中的几率是1/2.(为什么楼上N楼都会认为是1/3呢?另外一个山羊已经排除了.这难道就是障眼法所在?)

如果不坚持自己的选择的话,选中的机会也是1/2.因为还是排除了一个山羊.

请大家 ...

很简单，你回去和你的朋友做个实验
54张牌，让你选大王，你选一次，然后你的朋友拿走52张，再让你选一次，你认为你先选的机会大还是改变你的选择的机会大？回去做一下实验就能够明白了，答案无疑是选30次几乎30次都是改变选择才能成功

楼上的这位朋友的想法其实是可以选择一个错误的，当然，你的用意在于“选”而不是中，因为2个里面无论选哪个都是2分之1，但是回想到你当初是从3个里面选的这个，错误的机会有2/3 而现在错误的机会只有1/2

我们的要求是“选中”而不是“选”

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#59

发表于 2006-12-10 20:33 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 markhappy 于 2006-12-10 19:22 发表

很简单，你回去和你的朋友做个实验
54张牌，让你选大王，你选一次，然后你的朋友拿走52张，再让你选一次，你认为你先选的机会大还是改变你的选择的机会大？回去做一下实验就能够明白了，答案无疑是选30次几 ...

说得有理

但我还有个问题.54张牌，让你选大王,毫无疑问,你很难选中,你失败了几十次.后来有一次,我突然拿走了52张牌(肯定没有大王),让你在两张牌里面再选一次,你会选择哪张,哪张概率大???

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#60

发表于 2006-12-10 20:37 资料个人空间短消息只看该作者

第一次概率为1/3，第二次无所谓概率，其实考察的是你对第一次选对是否有把握。。可是实质是一样的。如果是我肯定改变。因为第一次选错的概率大点

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