这个问题的障眼法在哪里zt - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	满屋挥春

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#1

发表于 2006-6-25 13:32 资料短消息只看该作者

这个问题的障眼法在哪里zt

今日偶尔看到此题记得曾经在若干年前的统计学课上讨论过很有意思摘下来给大家欣赏欣赏

一道引起全美大学生举国辩论的逻辑题

假设你在进行一个游戏节目。
现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。
你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。
主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，剩下的两扇门后面，至少有
一个是山羊。这知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开其中有一头山羊的那扇
门给你看。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，
你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

大家先当推理题算一算吧我发几个主流观点大家评论一下看出倪端的不妨写下来

回复观点1：

变与不变，都是一样的几率
-------------------------------------------------------------------------------
回复观点2：

并不难的条件概率问题
第一次选对的可能是1/3，选错的可能是2/3，由此有两种可能：
A.选对了。也就是第一次选的就是车。那么主持人去掉一个后剩下两个分别是车和羊。改的话选对的可能是0，错的可能是1。所以改的话总概率就是1/3*0=0，不改的话总概率就是1/3*1=1/3。
B.选错了。那么主持人去掉一个后剩下的一定是车。改的话选对的可能是1，不改的话选对的可能是0。所以总概率上改的话就是2/3*1=2/3，不改就是2/3*0=0。
综合A，B两种情况，改的话选对的概率是：0+2/3=2/3，不改的话选对的概率是1/3+0=1/3。

所以改更可能得到轿车。
这个逻辑上并不难，但是容易让人想当然的认为各占1/2。
以上是个人想法，但应该没问题。

----------------------------------------------------------------
回复观点3：

由上述题意:无论第一次选择对或错,主持人会故意给你看装山羊的另一扇门
也就是说主持人的行为无效,你第一次选择正确概率为1/3。
(主持人的行为是建立在你第一次选择后的条件行为,非随机)

主持人的无效行为够不成条件概率中所说的条件,你变不变选择
正确概率均为1/3。
--------------------------------------------------------------------------------
回复观点4：

如果不改，那选中的几率是为2/3的：就如3次机会，让你选2次来中奖。（只是你选了一次，主持人选了一次）
如果这时改变选择的话，那就是重新选择，也就是1/2的几率。

所以，不改变第一次的选择。
--------------------------------------------------------------------------------
回复观点5：

实质上第2次的选择与第一次可以无关，所以是50%.

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	满屋挥春

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#2

发表于 2006-6-25 13:35 资料短消息只看该作者

这里有更多的讨论
http://www.changhai.org/bbs/load ... &aid=1144491043

另外打算有空的时候编程做一个模拟Game Show
在换与不换的两种情况下 loop上几万次看看什么结果

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#3

发表于 2006-6-25 14:20 资料文集短消息只看该作者

回复观点4：

如果不改，那选中的几率是为2/3的：就如3次机会，让你选2次来中奖。（只是你选了一次，主持人选了一次）
如果这时改变选择的话，那就是重新选择，也就是1/2的几率。

所以，不改变第一次的选择。
--------------------------------------------------------------------------------
这点我觉得显然是错误的，原因是主持人的选择不是随机的（他知道这扇门没有轿车），因此不改不可能将几率提高到2/3.。

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	crayfish

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#4

发表于 2006-6-25 14:26 资料文集短消息只看该作者

其实障眼法就是在各种结论下的前提（假设）有着细微的差别，老帖子了，没仔细想清楚过。

相反，编程应该是没有用的，因为讨论的如此热烈，如果有概率计算的问题早就被发现了。分析清楚各种情况下都有哪些假设才行。

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#5

发表于 2006-6-25 14:33 资料短消息只看该作者

DC问一题4张扑克各是AAKK，如果摸一张打开一张，然后继续摸
庄家买不一样[AK]，闲家买一样[AA或KK]
粗看看胜率一样，都是1/2

个人认为，闲家的胜率才1/3

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#6

发表于 2006-6-25 14:38 资料文集短消息只看该作者

发现好像要收回上面的说法了。
不改第一次选择选中的概率其实也是1/2，一个三个选择，但是被主持人排除了一个，故不改第一次的选择仍然是1/2的概率。

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#7

发表于 2006-6-25 14:40 资料主页个人空间短消息只看该作者

原来3个1/3

现在2个1/2

换不换选择，概率没有变化

因为都是未知

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	靖雪

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#8

发表于 2006-6-25 22:26 资料主页短消息只看该作者

当年高三第N次模考题，往事不堪回首

当年用的答案是几率一样

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#9

发表于 2006-6-26 03:45 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复观点1：

变与不变，都是一样的几率

+

回复观点5：

实质上第2次的选择与第一次可以无关，所以是50%.

第一次无论选哪个，主持人都会把一个有羊的门打开。就是说三个门里有一个会被剔除。这就相当于从剩下的两个门选一个。因此两次选择都是1/2机率。

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-6-26 07:51 编辑 ]

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#10

发表于 2006-6-26 12:18 资料短消息只看该作者

说50%的看看这个case吧(别的地方看来的)

买彩票，简化起见让你在1000000个数字中选一个，选好以后又一个内部工作人员告诉你一个消息说在剩下的999999个数字中有999998个数字都不会中奖，并且告诉了你剩下的那个数字，也就是说现在会中奖的只有你开始选的那个数字和余下的那个数字，这是你会改变当初的选择么？？？

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#11

发表于 2006-6-26 12:37 资料文集短消息只看该作者

楼上的，你这个例子其实是误导的，在原题目的已知条件中，额外增加了内部工作人员不希望（或者希望）你中奖这样一个假设，否则纯就数学上来看，你的题目答案和原题目一样。

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#12

发表于 2006-6-26 12:50 资料主页个人空间短消息只看该作者

这里提到了两次选择. 第一次是开始时. 无论第一次选了什么,第二次选的时候已知剩下的两个里有一个会中奖. 第二次是让选择"你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择". 这相当于问你,"你选原来选的那个,还是选另一个?" 这时候可以把第一次选时所做的完全忘掉.两个选一机率就是1/2.

更简明一些: 第一次随便选,第二次把两个混在一起选一个.

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#13

发表于 2006-6-28 14:25 资料主页短消息只看该作者

我们不妨作一个试验，一共有三个箱子，A, B, C，给出九个可能性：

第一选择A, 车A (AA); 第一选择B, 车B (A

; 。。。简称：AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC (第一个字母是第一选择的箱子，第二个字母是车的位置)。如果选择不变，那么只有AA, BB, CC三个组合可以得到车。如果选择变，那么AB, AC, BA, BC, CA, CB六个可能都能得到车。原因如下：如果第一选择为A, 车子在B, 那么主持人没有选择只能打开C。也就是说，如果第一选择是错误的，那么变了就必定能得到车。

结论：选择不变成功率=1/3，变的话成功率 = 2/3。

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#14

发表于 2006-6-28 15:09 资料文集短消息只看该作者

仔细想了一下，现在觉得公主这种说法更为合理(仅仅是合情合理，并非说数学证明上就很严密)，尤其是上面10000个的例子更为形象。
可是另外一种的问题出在什么地方，还是没想明白。

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#15

发表于 2006-6-28 15:40 资料主页短消息只看该作者

信息不对称。如果你第一个选对了，那么另外两个都是错的，任何一个错误的被打开的概率都是1/2。如果第一个选择是正错误，那么另外一个错误的被打开的概率是1。

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#16

发表于 2006-6-28 16:24 资料短消息只看该作者

高中的时候同学拿这题考过偶赞同观点2 改获得车的概率更大

QUOTE:

原帖由 满屋挥春 于 2006-6-25 13:35 发表
另外打算有空的时候编程做一个模拟Game Show
在换与不换的两种情况下 loop上几万次看看什么结果

这个程序技术含量可不高哦忘了随机函数的生成原理了依稀记得有人给我说电脑的随机函数并不可靠

抢楼主台词:公主公主你最美无条件支持公主

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#17

发表于 2006-6-28 16:44 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #13 天宫公主的帖子

如果选择不变，那么只有AA, BB, CC三个组合可以得到车

公主这句有错.

总共有12种可能性, 而不是9种. 第一个字母是第一选择的箱子，第二个字母是车的位置，第三个字母是另一个箱子,,
有: AAB,AAC,BBA,BBC,CCA,CCB,, ABB, ACC, BAA, BCC, CAA, CBB.

变与不变,各有六种.

这个问题的障眼法在于,你在第一次的选择后没有得到任何有用的信息,而仅知道余下的两个里有一个有车.那么第二次选择是完全独立于第一次的选择的.

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#18

发表于 2006-6-28 17:25 资料主页短消息只看该作者

你这么划分case也可以，不过AAB, AAC, BBA, BBC, CCA, CCB 发生的概率正好是 ABB, ACC, BAA, BCC, CAA, CBB 它们的1/2。这个又回到我说的信息不对称问题上了，如果你第一次猜对了，那么主持人可以有选择的放出一只羊，而具体放哪只的概率是1/2。如果你第一次猜错了，那么主持人放哪只羊就没有选择了，具体放哪只的概率=1。

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#19

发表于 2006-6-28 17:26 资料短消息只看该作者

回复 #17 lcarron78 的帖子

AAB和ABB发生的概率并不相等
楼上不信的话可以找个人来玩一下这个游戏，或者玩我提到过的那个10000...0个数的彩票游戏以获得一些实际的感受

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#20

发表于 2006-6-28 18:21 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #18 天宫公主的帖子

从另一个角度看.第一次选A,这时ABC都在,A中有车的机率是1/3. 然后主持人把C拿掉. 这时, C中不可能有车,只有A或B中有车,可能有车的门从三个变为AB两个, 这时A中有车的机率不再是1/3,而是1/2.

无论主持人在第一次选择前或后把C拿掉,给予的信息都是: C中没有车,都是把有车的范围缩小为两个门. 这两种情况是等同的.那么把问题转化成主持人在第一次选择前把C拿掉,A中有车的机率是1/2.

用划分case的方法,AAB和ABB发生的概率在C存在时并不相等,但在C不存在时是相等的.

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#21

发表于 2006-6-28 18:31 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #19 reynolds_wwy 的帖子

假如主持人以这种方式与玩家玩这个10000...0个数的彩票游戏:
每次选一个数,主持人把任一个非中奖数去掉.
下一次选择是否保持这个数还是另选一个.确定后,主持人再把一个非中奖数去掉.
继续到只剩下两个数,选择是否保持已选的那个数还是选另一个.
请问是否每次另选一个,是否中奖的机率最大?

这种玩法是否比只选两次的玩法使得玩家更易中奖?

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#22

发表于 2006-6-28 18:46 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 lcarron78 于 2006-6-28 18:21 发表
从另一个角度看.第一次选A,这时ABC都在,A中有车的机率是1/3. 然后主持人把C拿掉. 这时, C中不可能有车,只有A或B中有车,可能有车的门从三个变为AB两个, 这时A中有车的机率不再是1/3,而是1/2.

无论主持人在第一 ...

假设你选择了A，而A有车，那么C被打开的概率＝1/2。如果A没车，那么C被打开的概率=1。由贝叶斯定理，
Pr ( A有车｜C被打开且最初选择是A) = Pr ( C 被打开｜A有车且最初选择是 A) Pr(A 有车)／［Pr ( C 被打开｜A有车且最初选择是 A) Pr(A有车) +Pr ( C 被打开｜B有车且最初选择是 A)Pr(B有车)］
= (1/2)*(1/3)/[(1/2)*(1/3)+1*(1/3)]
= 1/3。
由穷举性，Pr ( A有车｜C被打开且最初选择是A) + Pr ( B有车｜C被打开且最初选择是A) = 1，故知：Pr ( B有车｜C被打开且最初选择是A) = 2/3。

Appendix
Theorem (Bayes): 如果 A_1, A_2, ... , A_n, B 是 Pr-可测集合，且Pr(B ) > 0。那么
Pr(A_i | B ) = Pr(B | A_i) P(A_i) / [Pr(B|A_1) Pr(A_1) + Pr(B|A_2) Pr(A_2) + ... + Pr(B|A_n) Pr(A_n)]

[ 本帖最后由天宫公主于 2006-6-28 18:56 编辑 ]

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#23

发表于 2006-6-28 18:47 资料短消息只看该作者

回复 #20 lcarron78 的帖子

如果只考虑主持人开完门以后那么另两扇门背后有车的几率当然是均等的,但是别忘了主持人的动作是受你第一次选择的影响的亚

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#24

发表于 2006-6-28 18:58 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-6-28 14:25 发表
我们不妨作一个试验，一共有三个箱子，A, B, C，给出九个可能性：

第一选择A, 车A (AA); 第一选择B, 车B (A

; 。。。简称：AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC (第一个字母是第一选择的箱子，第二个字母是车 ...

哈，我想发现了障眼法的玄机所在了。
第一次选择的时候，确实有AA AB AC BA BB BC CA CB CC９种可能，此时计算概率是1/3，但是当主持人排除一个箱子C后，前面的分类就变了，只有AA AB BA BB四种可能了。此时计算概率，应该如何计算？

类似的例子，52张扑克牌，连续抽出2张A的概率；抽了2张，第一张是A,此时第二张仍是A的概率。

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#25

发表于 2006-6-28 19:01 资料短消息只看该作者

回复 #22 天宫公主的帖子

顶了，争论可以结束了吧

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#26

发表于 2006-6-28 19:17 资料文集短消息只看该作者

不过确实还有问题存在，那个10000号中奖的问题，肯定是要换的。还没想明白.....这个真伤神，大概要把步骤一步一步地隔离细分才行

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#27

发表于 2006-6-28 19:21 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 青木风月 于 2006-6-28 16:24 发表

这个程序技术含量可不高哦忘了随机函数的生成原理了依稀记得有人给我说电脑的随机函数并不可靠

严格说起来，自然界也很少有真正的随机性，不过是相关因素过于复杂而且不可再现罢了

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#28

发表于 2006-6-28 19:53 资料文集短消息只看该作者

不改０．３，改了０．６，事实上两次事件是无法独立的，开始有点想当然认为都是０．５．

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#29

发表于 2006-6-29 03:02 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #22 天宫公主的帖子

....然后主持人把C拿掉...... 既然C已被打开，那么无论A有车没车，C被打开的概率＝1。如果考虑C的概率，就等於是站在C已被打开前的角度考虑，而没有C已被打开的信息用上。

用上C已被打开的信息，这时机率是
Pr ( A有车｜(C被打开且最初选择是A) ) = 1/2

在这个问题里，由于可选择的集合发生的变化，{ABC}-->{AB}，计算机率的基数(3-->2)已经被改变了，得到的机率是不同的。

[ 本帖最后由 lcarron78 于 2006-6-29 07:37 编辑 ]

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#30

发表于 2006-6-29 03:12 资料主页个人空间短消息只看该作者

回复 #23 reynolds_wwy 的帖子

主持人的动作的确是受你第一次选择的影响，他观察剩下的两个门而把其中一个打开。但是，这个影响只有主持人知道，而玩家并不知道。从信息的角度说，这个影响是主持人的内部信息，而玩家并没有得到这个信息。玩家看到的只是两个表面无差别的门的其中一个被打开。

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