塌先生2006系列问题04 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	塌鼻子先生

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#1

发表于 2005-11-10 13:47 资料文集短消息只看该作者

2006年某一天，塌鼻子先生来到一家旅馆，想在这里住2006天，他身上没有现金，只有一根由2006环组成的金链，金链的每一环恰好相当于一天的房费。旅馆要求旅客每天付清当日房费，不能预付或拖欠，所以塌先生必须每天付出金链的一环。由于首饰店切开金链的费用是按环数计算的，塌先生想到，只要切开其中的7环就能达到每天付出一环的目的。问切开7环有多少种不同的方法（例如由于金链的对称性，切开第X1，X2，…，X7环与切开第2007-X7，2007-X6，…，2007-X1环是同一种方法）？

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#2

发表于 2005-11-11 00:07 资料主页文集短消息只看该作者

塌先生省钱了，旅馆可有麻烦了，一截一截的金链不能用，都要留着给塌先生换来换去的：）
看起来象是要用三进制数解决问题，不过思来想去怎么只能用二进制数？

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#3

发表于 2005-11-12 09:34 资料文集短消息只看该作者

先给出一种方法：
2^(N+3)+N-8，N=1，2，…，7.

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#4

发表于 2005-11-12 21:42 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由塌鼻子先生于2005-11-12, 9:34:34发表
先给出一种方法：
2^(N+3)+N-8，N=1，2，…，7.

N=1时，2^(N+3)+N-8=9
N=2时，2^(N+3)+N-8=26
……
N=7时，2^(N+3)+N-8=1023
那第一天塌先生付给宾馆哪一截呢？

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#5

发表于 2005-11-13 00:01 资料主页文集短消息只看该作者

中了埸先生的圈套咧，原来切开一个环是得到三段的，切开的那个环可以成为单独的一段……

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#6

发表于 2005-11-13 00:06 资料主页短消息只看该作者

想了一天，没想出好办法来，只给出自己的一点思路：

题目等同于：给定a(1),a(2),...,a(8)八个自然数，令f(i)=sum_j=1^i(a(j))，有条件：
a(i)<=a(i+1)<=2f(i)+1，a(1)=1，f(8)=2006，

可以证明a(i)这8个数为原题的一个解，转而为求a(i)的解的个数。

又在这一个题中可以证明每一组f(i)对应一组a(i)，f(i)满足：
f(i+1)<=3f(i)+1
为使f(8)=2006，还应有f(i)>=(2006+1/2)*3^(i-8)-1/2，
原题等同于求f(i)的组数。

f(1)=1
f(2)=3或4
f(3)=[8,10]或[8,13]
……
算到倒数第二步是在算不下去了，好像有几千项。。。

不过应该可以用计算机算出来，感觉结果得量级可能和塌先生的结果的连乘差不多，汗！！

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#7

发表于 2005-11-14 11:51 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-11-13, 0:01:34发表
中了埸先生的圈套咧，原来切开一个环是得到三段的，切开的那个环可以成为单独的一段……

原来重阳兄也是用五笔输入法？？？
hand一个

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#8

发表于 2005-11-14 12:10 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-11-13, 0:01:34发表
中了埸先生的圈套咧，原来切开一个环是得到三段的，切开的那个环可以成为单独的一段……

“圈套”是不假，金链就是圈圈套起来的。

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#9

发表于 2005-11-14 13:50 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由塌鼻子先生于2005-11-14, 12:10:50发表
“圈套”是不假，金链就是圈圈套起来的。

无耻啊无耻！

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#10

发表于 2005-11-14 22:32 资料主页短消息只看该作者

看了你们的贴，我都糊涂了，难道我理解错了？

塌先生解释一下你的解的意义吧

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#11

发表于 2005-11-15 10:45 资料主页文集短消息只看该作者

这个题大致是这样吧：
切开七个环后，金链分为八段，外加切开的七个环。
切开七环最多可解决2047天的住宿问题，即八段分别为：
8，16，32，64，128，256，512，1024
现在只住2006天，有一定的富余，因此这八段就有了多种分法。
先按上面的排列
8，16，32，64，128，256，512，983
就是塌先生举的例子。
然后从后面算起

8，16，32，……256，511，984
……
8，16，32，……256，492，1003
（492不能再减了，491的话除最长链之外的7段加7单独环共长1002，最长链1004，就接不上了）

8，16，32，……255，510，986
8，16，32，……255，509，987
……
数一下共有多少种分法，有点烦琐，不知这个有没有公式，反正是没见过，只会笨数：）
每种分法有8！种截法
题目要求正数倒数算同一种，因此再除以2。（上面的同一序列中应该不会有相同的数字吧）

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#12

发表于 2005-11-15 13:19 资料主页短消息只看该作者

原来如此，我理解错了

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