求助：阿基米德定理的证明。 - 我思我在


	吾非鱼

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#1

发表于 2005-11-1 19:41 资料短消息只看该作者

各位大侠：
从初中就学过，阿基米德定理大家一定都很熟悉。浮力等于排开水的体积。
可是当年阿基米德是怎么得出这个伟大的结论的？总不会这是公理，不证自明吧？
我从初中接触这个到现在三十多了，还是很迷惑，不知道哪位能回答？哪位能给出证明来？
谢谢啦。

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	冰祁步


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#2

发表于 2005-11-1 20:22 资料文集短消息只看该作者

　　　　称量皇冠的难题　　

　　在一般人看来，阿基米德是个“怪人”。用罗马历史学家普鲁塔克的话说：“他象是一个中了邪术的人，对于饭食和自己的身体全不关心。”有时候，饭摆在桌子上叫他吃饭，他好象没听见，仍旧在火盆的灰里画他的几何图形。他的妻子，要时时看守他。譬如他用油擦身的时候，便呆坐着用油在自己身上画图案，而忘记原来是作什么事的了。他的妻子更怕送他到浴堂里去洗澡，这个笑话是因为国王的一个新冠冕而引起的。　　

　　国王在前不久，叫一个工匠替他打造一顶金皇冠。国王给了工匠他所需要的数量的黄金。工匠的手艺非常高明，制做的皇冠精巧别致，而且重量跟当初国王所给的黄金一样重。可是，有人向国王报告说：“工匠制造皇冠时，私下吞没了一部分黄金，把同样重的银子掺了进去。”国王听后，也怀疑起来，就把阿基米德找来，要他想法测定，金皇冠里掺没掺银子，工匠是否私吞黄金了。这次，可把阿基米德难住了。他回到家里苦思苦想了好久，也没有想出办法，每天饭吃不下，觉睡不好，也不洗澡，象着了魔一样。

　　有一天，国王派人来催他进宫汇报。他妻子看他太脏了，就逼他去洗澡。他在澡堂洗澡的时候，脑子里还想着称量皇冠的难题。突然，他注意到，当他的身体在浴盆里沉下去的时候，就有一部分水从浴盆边溢出来。同时，他觉得入水愈深，则他的体量愈轻。于是，他立刻跳出浴盆，忘了穿衣服，就跑到人群的街上去了。一边跑，一边叫：“我想出来了，我想出来了，解决皇冠的办法找到啦！” 　　

　　他进皇宫后，对国王说：“请允许我先做一个实验，才能把结果报告给你。”国王同意了。阿基米德将与皇冠一样重的金子、一块银子和皇冠，分别一一放在水盆里，看金块排出的水量比银块排出的水量少，而皇冠排出的水量比金块排出的水量多。　　　　

　　阿基米德对国王说：“皇冠掺了银子！”国王看了实验，没有弄明白，让阿基米德给解释一下。阿基米德说：“一公斤的木头和一公斤的铁比较，木头的体积大。如果分别把它们放入水中，体积大的木头排出的水量，比体积小的铁排出的水量多。我把这个道理用在金子、银子和皇冠上。因为金子的密度大，而银子的密度小，因此同样重的金子和银子，必然是银子的体积大于金子的体积。所以同样重的金块和银块放入水中，那么金块排出的水量就比银块的水量少。刚才的实验表明，皇冠排出的水量比金块多，说明皇冠的密度比金块的密度小，这就证明皇冠不是用纯金制造的。”阿基米德有条理的讲述，使国王信服了。实验结果证明，那个工匠私吞了黄金。　　

　　阿基米德的这个实验，就是“静水力学”的胚胎。但他并不停留在这一点上，继续深入研究浮体的问题。结果发现了自然科学中的一个重要原理——阿基米德定律。即：把物体浸在一种液体中时，所排开的液体体积，等于物体所浸入的体积；维持浮体的浮力，跟浮体所排开的液体的重量相等。　

手头也只能找到这个典故了……

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	吾非鱼

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#3

发表于 2005-11-1 20:42 资料短消息只看该作者

这个故事我也知道，用这种方式检验是否是纯金是完全有效的，可是最终这个指导我们几千年的定理，也就是说浮力是排开水体积的水的重量。是如何证明的，我一直不明白。不过刚才看过你的这个典故之后，再想了了，我证出来了。是这样的。谢谢了。

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	radiowave21

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#4

发表于 2005-11-1 21:48 资料主页短消息只看该作者

记不清了

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	apan01 (中级知识分子)

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#5

发表于 2005-11-1 22:38 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由吾非鱼于2005-11-01, 20:42:15发表
这个故事我也知道，用这种方式检验是否是纯金是完全有效的，可是最终这个指导我们几千年的定理，也就是说浮力是排开水体积的水的重量。是如何证明的，我一直不明白。不过刚才看过你的这个典故之后，再想了了，我证出来了。是这样的。谢谢了。

你是怎么证的呢？小弟不才，想知道一下。

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	凤凰涅槃

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#6

发表于 2005-11-1 23:45 资料主页短消息只看该作者

用流体静力学的知识，对压力进行面积分，再用奥高公式化为体积分。

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	凤凰涅槃

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#7

发表于 2005-11-2 02:20 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由冰祁步于2005-11-01, 20:22:49发表
手头也只能找到这个典故了……

高中时，看一本书上说，如果皇冠里是中空的。。。。。。。。

说不定阿基米德冤枉好人了不过这个定理倒是很有用

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	zeroideal

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#8

发表于 2005-11-2 08:37 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由凤凰涅槃于2005-11-01, 23:45:11发表
用流体静力学的知识，对压力进行面积分，再用奥高公式化为体积分。

nod，
完全可以由压力推导浮力来的，
如果只考虑竖直方向上的力（这点并非显然），从压强差正比高度差这点出发，可以直接由体积分得知。

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	Sphynxyu

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#9

发表于 2005-11-2 13:16 资料主页文集短消息只看该作者

...... 初中生就足以搞定了,用不找体积分罢?

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	随波逐流

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#10

发表于 2005-11-2 13:31 资料短消息只看该作者

实验器具：杯子一个（住体,保证横截面积S固定），水适量，重物一个，桌子一张
把水倒进杯子里，桌对杯子的弹力F1=G杯+G水=G杯+pgsH1(1)
放入重物，桌对杯子的弹力F2=G杯+G水+G物=G杯+G物+pgsH2(2)
(2)-(1)

对于初中学生这个解答没问题了吧

寒

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#11

发表于 2005-11-6 14:01 资料个人空间短消息只看该作者

迭戈只知道这个定理是正确的,至于证明还真没想过.

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	慕容九九


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#12

发表于 2005-11-6 15:47 资料主页文集短消息只看该作者

下面这个图显示一个物体在水里浮着。这个物体受浮力1和浮力2还有地心引力。这个物体不在加速：

浮力1+mg=浮力2

mg=浮力2-浮力1

m=(浮力2-浮力1）/g

浮力2、浮力1和g都是常量，所以m也是一个常量。也就是说无论这个物体是什么（可以是一块塑料，也可以是一块水），它的质量都是一样的。不知道这样能不能帮助你~~~

图片附件: untitled.bmp (2005-11-6 15:47, 792.47 K)

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