刷墙头 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#1

发表于 2005-10-7 15:36 资料主页短消息只看该作者

1. A组一共有5个人, 要刷一面墙. 这5个人如果单独刷, 他们的速度是1:00, 1:15, 1:30, 1:45, 2:00小时刷好(:后面=分钟数). B组也有5个人涮一面墙, 但他们的速度全是1:30小时刷完一面. 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出(先刷完的一组为胜)?

2. A组一共有N个人, 要涮一面墙. 这N个人如果单独涮, 他们的速度是a_1, a_2, ... , a_N小时涮好. B组也有N个人涮一面墙, 但他们的速度全是b小时唰完一面, 其中b = (a_1 + a_2 + ... + a_N)/N,
i) 如果A, B两组比赛的话, 谁会胜出?
ii) 假设A赢, 能否想出一个更小的b(提高对手速度), 但保持结果不变? 假设A输, 能否想出一个更大的b(降低对手速度)?

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	一鸣惊人 (百花齐放百家争鸣)


	义信伯肇庆军节度使

组别	节度使
级别	平东将军
功绩	1521
帖子	2404
编号	17983
注册	2004-9-19
家族	轩辕狼党

#2

发表于 2005-10-7 16:49 资料文集短消息只看该作者

1. A组胜出

2.
i) 正在计算中……
ii) 没看懂，不知道如何入手。

是否应该先将"涮"和"唰"改为"刷"
估计天公将军去了澳洲，中文都退化了！

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#3

发表于 2005-10-7 21:18 资料主页短消息只看该作者

呵呵... 我承认我中文错别字不少. 不好意思.

最好给出步骤吧.

2 ii) 你既然觉得A组胜出, 那么就让B组每人的速度提高一点, 但提高以后还要保持A组赢. 也就是说, 看你是否能缩小比赛差距.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	juderiverman (何求得)


	★★

组别	羽林都尉
级别	安国将军
功绩	54
帖子	875
编号	5305
注册	2004-2-14

#4

发表于 2005-10-7 23:52 资料文集短消息只看该作者

是比赛刷五面墙吗，还是比赛刷一面墙？

如果是比赛刷五面墙的话，是否允许同组内先刷完的人帮助还没刷完的人？

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#5

发表于 2005-10-7 23:53 资料主页短消息只看该作者

比几面墙有区别么? 反正A,B两组大家刷的面积都是一样的(是集体比赛, 不是各人单挑).

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	juderiverman (何求得)


	★★

组别	羽林都尉
级别	安国将军
功绩	54
帖子	875
编号	5305
注册	2004-2-14

#6

发表于 2005-10-8 00:14 资料文集短消息只看该作者

改一下题目，或许更好算一些。如果我没理解错的话，。。。。。。

两组人竞赛刷墙，每组5人。假设每面墙共有60个格子，共有10面墙，比赛哪个小组会较快刷完5面墙。

两组队员刷墙速度不同，组内成员可以互相帮助。第一组队员中，A每小时刷60个格子（也就是一个小时就刷完一面），B每小时刷30个格子（两小时刷完一面），C每小时刷20个格子（三小时刷完一面），D每小时刷15个格子（四小时刷完一面），E每小时刷12个格子（五小时刷完一面）；第二组队员刷墙速度都一样，都是每小时刷20个格子（三小时刷完一面）。

问一，哪个小组会先完成？
问二，先完成的小组会领先对手多少分钟（四舍五入）？

我的答案是第一组（速度有差异的组）先完成，领先对手48分钟。

PS：实际上每小时刷的面积就不一样了，一小时内，第一组能刷（60＋30＋20＋15＋12＝137）个格子，而第二组只能刷（20×5＝100）个格子。我理解错了？

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#7

发表于 2005-10-8 00:34 资料主页短消息只看该作者

晕啊... E每小时刷12个格子, 5小时才刷完一面墙... 我给的条件里, 最慢的明明是两小时完成一面啊.

不过要说核心意义没理解错... 但为什么改5个小时啊?

另, 我的问 ii) 在part b才比较好玩的.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	juderiverman (何求得)


	★★

组别	羽林都尉
级别	安国将军
功绩	54
帖子	875
编号	5305
注册	2004-2-14

#8

发表于 2005-10-8 09:39 资料文集短消息只看该作者

这么说我的理解并没有错，这样的话就很简单了。

楼主实际上偷换了速度这个概念。
速度是××格子每小时，以上两个组之间貌似平均速度相同，实际上相同的是不是平均速度，而是平均完成时间。

以我的例子来讲，每小时第一组完成137个格子，第二组完成100个格子，这样计算领先多少分钟，就简单的是3－（100×3）÷137＝0.8小时了。

算第二部分也是一样的，代入T1，T2，T3，T4，T5，和T－Bar就是了。

如果真是平均速度相同的话，应该A每小时刷50个格子，B每小时刷40个格子，C每小时刷30个格子，D每小时刷20个格子，E每小时刷10个格子，而第二组的成员每小时都是刷30个格子。

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#9

发表于 2005-10-8 11:20 资料主页短消息只看该作者

第二部分啊... 不是想象的那么简单了... 主要你要考虑到任意速度A1, ... AN.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	上官刃

组别	羽林都尉
级别	牙门将军
好贴	1
功绩	50
帖子	537
编号	19
注册	2003-8-20
来自	中国.北京
家族	轩辕狼党

#10

发表于 2005-10-8 12:55 资料个人空间短消息只看该作者

问题1 A胜
列方程设整体工作量是1 时间为t
A:1t+(1/1.25)t+(1/1.5)t+(1/1.75)t+(1/2)t=1 得到t=21/74.3
B

1/1.5)t*5=1 得到 t=21/70
A用的时间少

问题2
首先应该是A胜因为不牵扯到数列和各数量逻辑关系问题原理同A 我就不用不等式证了午休时间太短
最后算出 T_A=(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an)
T_B=(a1+a2+……+an)/n^2
因为：b = (a_1 + a_2 + ... + a_N)/N
所以T_B=b/n
当T_A=T_B时
b=(a1*a2*……*an)*n/(a1+a2+……+an)
也就是说当b小于这个值的时候 B组的速度就要比A组慢就会负于A组当平均速度b大于这个值时，A就要输了

中午比较头昏脑涨可能考虑不严谨不知道对不对还有4分钟上班睡一小下去晚上再来看帖子

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#11

发表于 2005-10-8 13:20 资料主页短消息只看该作者

嗯... 有点意思. 加油! 继续!

关键要比出来
(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an) V.S. (a1+a2+……+an)/n^2
看那个大.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	victorcheng333

组别	士兵
级别	奋威校尉
功绩	2
帖子	111
编号	493
注册	2003-9-5

#12

发表于 2005-10-8 20:01 资料主页短消息只看该作者

T_A=(a1*a2*……*an)/(a1+a2+……+an)

我覺得T_A=(a1*a2*……*an)/
(a2a3...an-1an+a1a3a4...an-1an+……+a1a2a3.....an-1an)

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#13

发表于 2005-10-8 22:34 资料主页短消息只看该作者

嗯... 算我粗心, VICTOR说的不错. 但这两个形式都不是易于对比的写法. 继续努力!

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	天宫公主 (司徒家的颖颖)


	虞国公主 ★

组别	限制发言用户
级别	大将军
好贴	6
功绩	517
帖子	11552
编号	1037
注册	2004-10-25
来自	天津
家族	司徒实业

#14

发表于 2005-10-9 14:09 资料主页短消息只看该作者

要我写的话...
T_A = 1/[1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an]
T_B = (a1 + a2 + ... + an)/n^2.

欲证 T_A <= T_B, 命题等价于证明
(a1 + ... + an)(1/a1 + ... + 1/an) > n^2.

证法1: 利用柯西不等式,
sqrt[(a1+...+an)(1/a1 +...+ 1/an)]
>= {sqrt(a1)[1/sqrt(a1)] +...+ sqrt(an)[1/sqrt(an)]}
= 1+...+1
= n.

证法2: 利用数学归纳法,
n=1, 命题显然: a + 1/a > 1.
令S_k = a1 + ... + ak, T_k = 1/a1 + ... + 1/ak. 由归纳假设, S_k T_k > k^2. 则,
S_{k+1} T_{k+1}
= (S_k + a_{k+1})(T_k + 1/a_{k+1})
= S_k T_k + a_{k+1} T_k + S_k/a_{k+1} + 1
> k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2

证法3: 命题等价于:
(a1 + ... + an)/n > n/(1/a1 + ... + 1/an).
直接用算数-调和不等式即可.

ii) 如果用证法3, 可以联想到几何平均数, 则 b = (a1.a2...an)^{1/n} 满足命题要求. 理论性讲当然还有很多其它的b.

P.S. 我觉得此题是最容易帮助理解调和平均数的一个日常生活问题.

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	Sphynxyu

组别	校尉
级别	左将军
好贴	1
功绩	20
帖子	1229
编号	30540
注册	2005-1-18

#15

发表于 2005-10-9 14:24 资料主页文集短消息只看该作者

1. 一定A胜,因为刷的块的人比刷的慢的人刷的面积大.
2.TB=[1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an]^-1
没了.没想多久,错了别笑.

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	西晋羊牯

组别	校尉
级别	左将军
功绩	16
帖子	1290
编号	48111
注册	2005-9-7
家族	轩辕狼党

#16

发表于 2005-10-9 15:50 资料文集短消息只看该作者

这个不等式的证明高中生最喜欢了。
以前我也证过用的也是数学归纳法。

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	冰祁步


	长平郡主鸿胪少卿荆湖路经略使 ★★

组别	佩剑公主
级别	卫将军
好贴	3
功绩	2717
帖子	6735
编号	121
注册	2004-9-25
家族	司徒实业

#17

发表于 2005-10-9 21:01 资料文集短消息只看该作者

JJ的题目好难啊
看来不是我这种水平的人解答得出的……

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！