三角形面积 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-6-26 09:38 资料主页个人空间短消息只看该作者

下图中蓝色三角形面积均为1
求大三角形的面积

PS：
请不要只写一个答案
过程是必要的

图片附件: sanjiao.jpg (2005-6-26 09:38, 15.79 K)

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	东海麋子仲

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#2

发表于 2005-6-26 10:43 资料主页个人空间短消息只看该作者

本题还有其他条件吗？比如说相似关系，比例关系之类的？

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#3

发表于 2005-6-26 10:58 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由东海麋子仲于2005-06-26, 10:43:10发表
本题还有其他条件吗？比如说相似关系，比例关系之类的？

没有

就是从三个顶点各引一条线段
然后将大三角形分成7部分
其中四个三角形的面积均为1
求大三角形的面积

没有其他条件

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#4

发表于 2005-6-27 10:30 资料主页短消息只看该作者

不懂，公布答案吧

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	金圭子


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#5

发表于 2005-6-27 11:07 资料文集短消息只看该作者

你不懂也可以等等人家么，干吗直接叫公布答案……

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#6

发表于 2005-6-27 11:58 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由金圭子于2005-06-27, 11:07:11发表
你不懂也可以等等人家么，干吗直接叫公布答案……

我又没叫他马上公布

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#7

发表于 2005-8-24 22:03 资料主页个人空间短消息只看该作者

这个题没有人愿意挑战一下吗？

其实也不是很难

呵呵

悬赏500TB

截止日期2005年9月1日

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#8

发表于 2005-8-25 10:59 资料文集短消息只看该作者

既然题目中唯一的要求就是四块蓝色的三角形为1，那么我可以反过来构造出一个三角形，其中被分出的四块小三角形的面积为1，那么总的面积就应该和题设一致（这儿可以反推来证明，我就不证了）。
所以我构造出如图的一个三角形（图见附件）：
大三角形为正三角形，其中三条分割线交角皆为60°，故BC=FG，CH=HF；AB=DG=EH，AC=DF且AD=AE=DE（类似位置的三段都相等，我为了省事就不全标注了），故而中间的蓝色小三角形ADE是正三角形。
设大三角形面积为S。当C点的位置从B移动到BG中点过程中，中间的小三角形ADE面积从S到0，而三角形ABC的面积从0到S/6，其中肯定存在一个位置让ADE和ABC的面积相等。我们就假设下图中即为这种情况，且ADE的面积=ABC的面积=1。
而其中三块白色的部分面积也皆相等，设其为m。

(1): CG/BG=(2+2m)/(4+3m)

(2): (AB*BC)

BF*BG)=1

2+m)
(AB*BC)

BD*BG)=1

1+m)
得：BF/BD=(2+m)/(1+m)

(3): (BF*BG)

BD*CG)=(HG*HC)

HA:HF)=(2+2m)

1+m)=2
得：BF/BD=2*CG/BG=4(1+m)/(4+3m)

(2)、(3)连列，得：
4(1+m)(1+m)=(2+m)(4+3m)
4㎡+8m+4=3㎡+10m+8
㎡-2m-4=0
m=1±√5
取正解1+√5

∴S=4+3m=7+3√5。
完毕。

图片附件: 1.gif (2005-8-25 10:59, 6.62 K)

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#9

发表于 2005-8-25 11:31 资料短消息只看该作者

这类题目就是构造一个满足条件的特殊模型，越特殊越好，如果该特殊模型不能代表普遍性，题目无解。
同意楼上，可惜比我早了一步。

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#10

发表于 2005-8-25 22:45 资料主页个人空间短消息只看该作者

鬼子的方法适合于做填空题
不适合做解答题
而且这样做已经预设了只有一个答案
原题并没有明确说明只有一个答案

不过很幸运这个题只有一个答案
并且鬼子算出来了
呵呵奖励一半250TB
金圭子 2005-08-25 ￥ 250 轩辕通宝

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#11

发表于 2005-8-26 11:06 资料文集短消息只看该作者

-_\\

你的意思就是说正确的方法不是这样喽…………
反正我的做题方法也就是为了考试的方法——整天考试啊考试，最近在职读的硕士居然要一个校外导师，最好是计算机系的或者搞网的（我的论文是《网上投票的作弊与反作弊》），硕士或者高级工程师…………啊啊啊啊啊啊啊啊啊，我认识的唯一一个高工是我爸…………不过不是计算机的

倒是这个钱的…………算了，我就拿着吧，下次碰到什么事情还给你就是了（感觉像洗黑钱）

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#12

发表于 2005-8-26 13:27 资料主页个人空间短消息只看该作者

辅助线如图所示。
整个过程分三步，首先证明三角形AGK和三角形AKE面积相等，其次证明三个白色四边形（看第一贴子里的图）面积相等，然后求出这个面积。
因为三角形HGK和三角形KEC面积相等，所以EG和HC平行，从而AE:EC=AG:GH
又AE:EC=三角形AKE的面积:三角形KEC的面积
AG:GH=三角形AGK的面积:三角形HGK的面积
所以三角形AKE的面积=三角形AGK的面积
同理，三角形FGB的面积=三角形BHG的面积，三角形DHC的面积=三角形HKC的面积
设三角形AKE的面积=x,三角形FGB的面积=y,三角形DHC的面积=z
因为AE:EC=三角形AKE的面积:三角形KEC的面积=三角形AHK的面积:三角形HKC的面积
=三角形AHB的面积:三角形BHC的面积
即有，x:1=(x+1):z=(1+2y): (1+z)
所以xz=x+1,x+xz=2y+1
2y+1=x+xz=x+x+1
所以x=y
同理，y=z
从而x=y=z
所以x^2-x-1=0
因为x是正数，所以x=(1+√5)/2
所以三角形ABC的面积=4+6x=4+3*(1+√5)=7+3√5

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#13

发表于 2005-8-26 13:35 资料短消息只看该作者

贴了半天，发现楼上已经有了
我的证明和楼上稍微有点不同，少一条辅助线，
可以通过三角形之间的关系导出结果。比如三角形CDE和三角形CDi之间的联系等等。
我是这么想的，可能过程会比楼上的繁很多。

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#14

发表于 2005-8-26 14:19 资料主页文集短消息只看该作者

灌水：

楼上都是数学高手！我的数学知识仅限于四则运算

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#15

发表于 2005-8-26 14:29 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由寂寞空手道于2005-08-26, 14:19:20发表
灌水：

楼上都是数学高手！我的数学知识仅限于四则运算

汗一个，这题说来是小学到初中的题目，楼上法螺吹太大了：）
不过楼主的证明还是很不错的，赞一个！！！

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#16

发表于 2006-8-29 15:09 资料个人空间短消息只看该作者

初二《能力拓展练习》28页 16-3题

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#17

发表于 2006-8-29 19:23 资料个人空间短消息只看该作者

牛人
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#18

发表于 2007-9-16 20:35 资料短消息只看该作者

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#19

发表于 2007-9-16 20:36 资料短消息只看该作者

呵呵，前面错了，是13.5

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