奇怪的赌博，奇怪的概率 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2005-4-1 11:31 资料主页文集短消息只看该作者

奇怪的赌博，奇怪的概率

看到三个门的问题又被翻了出来，想起以前看到过的另一个概率趣题，发出来给大家解解闷。

两个人在路上相遇，互相不知道对方钱包里有多少钱，开始这么一个赌博：
比谁的钱包里钱少，钱多者负，把钱包里所有的钱都输给对方。
现在其中一方就在想了，我不知道他的包里有多少钱，他也不知道我的包里有多少钱，很显然，这场赌博我输赢的概率各是1/2。如果我输了，我输掉的是自己钱包里的钱；但如果我赢了，我赢的钱就会超过我钱包里的钱。因此这场赌博对我有利。
问题是另一方也同样会有这种想法。

世界上会有对双方都有利的赌博吗？
------------------------------------------------

原题大至如此。有些朋友可能会觉得已经知道自己带了多少钱，因此输赢概率可能不是50%，或双方的钱都已确定不存在概率问题。为此把这个问题修正一下，以消除这些模糊之处。
第一次修正：
把问题再说的透彻点，假定一个城市里所有的人身上带的钱都是随机的，而且每个人带多少钱的概率都是一样的。现在举办这么一个赌博，只有报名者才可以参加，在一个随机的时间由一个特定机构来随机地从报名者中选两个人按开始所说的办法来赌，那么你是否认为参加这样的赌博很合算呢？
第二次修正：
两个人各在路上捡到一个钱包，在没有打开钱包之前，双方都不知道任何一个钱包里有多少钱，也无从判断每个钱包里可能有多少钱。于是两个人开始打赌，赌两个钱包里钱的多少，钱多者负，把自己捡到的钱包输给对方。
这次很显然，双方输赢的概率都是50%，但输的时候输掉的是所捡钱包里的钱，而赢的时候却可以得到比自己所捡的更多的钱。

[ 本帖最后由东方无翼于 2007-10-17 10:06 编辑 ]

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#2

发表于 2005-4-1 11:39 资料主页短消息只看该作者

另一方在想，如果我赢了，我赢的钱就会超过我钱包里的钱；但如果我输了，我输掉的是自己钱包里的所有钱。因此这场赌博对我不利。

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#3

发表于 2005-4-1 11:39 资料文集短消息只看该作者

如果按照等概率然后用收益加权的话，的确是这样。
甚至因为双方的钱是非负的，所以比自己少（自己输掉）的可能是有限的，比自己多（自己赢）的可能是无限的。
所以肯定是合算的。

如果在现实中还面临一个问题：肯这么赌博的人，自己兜里面钱肯定不会多。
当然我们现在是考虑纯数学问题…………嗯嗯，有点意思，我去想想…………

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#4

发表于 2005-4-1 11:42 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由塔格莱丽丝于2005-04-01, 11:39:23发表
另一方在想，如果我赢了，我赢的钱就会超过我钱包里的钱；但如果我输了，我输掉的是自己钱包里的所有钱。因此这场赌博对我不利。

怎么能这么算呢？

就比如你用100块钱下注，赌的是硬币正反面（完全考虑数学情况，也就是等概率事件），而如果你押中了给你150（你原来的100自然还你），你押不中你的100就没了。
你会不会押呢？

这不也是：如果我赢了，我赢的钱就会超过我钱包里的钱（150>100）；但如果我输了，我输掉的是自己钱包里的所有钱（100）。但是我想任何人都不会觉得这场赌博对自己不利吧？？

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#5

发表于 2005-4-1 21:49 资料主页个人空间短消息只看该作者

这个好象也是不一样的吧……楼上的把自己的１００元也算在收益里面，计算得到１５０＞１００。可是在楼主的问题中，不计算自己的成本，光收益也是大于成本的。
好象并没有找到症结。

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#6

发表于 2005-4-2 06:22 资料文集短消息只看该作者

问题在这一句：

QUOTE:

现在其中一方就在想了，我不知道他的包里有多少钱，他也不知道我的包里有多少钱，很显然，这场赌博我输赢的概率各是1/2。

赌博输赢的概率是由双方钱包里的钱事实上有多少——以及“可能有多少”——来决定的，不是由双方“认为有多少”决定的。双方知道不知道对方包里有多少钱和胜负的概率无关。这不是各是1/2的输赢。

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#7

发表于 2005-4-2 07:11 资料主页文集短消息只看该作者

把问题再说的透彻点，假定一个城市里所有的人身上带的钱都是随机的，而且每个人带多少钱的概率都是一样的。现在举办这么一个赌博，只有报名者才可以参加，在一个随机的时间由一个特定机构来随机地从报名者中选两个人按开始所说的办法来赌，那么你是否认为参加这样的赌博很合算呢？

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#8

发表于 2005-4-2 08:18 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-04-02, 7:11:38发表
把问题再说的透彻点，假定一个城市里所有的人身上带的钱都是随机的，而且每个人带多少钱的概率都是一样的。现在举办这么一个赌博，只有报名者才可以参加，在一个随机的时间由一个特定机构来随机地从报名者中选两个人按开始所说的办法来赌，那么你是否认为参加这样的赌博很合算呢？

直觉告诉我，如果我的钱小于平均值的话就参加，否则不参加。。。没有好好算。

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#9

发表于 2005-4-2 20:40 资料短消息只看该作者

这是偷换概念，其实如果我输了，我将比我赢损失更多。（因为两人的钱是固定的。如果我赢的话，对方的100元将是我的，如果我输了，说明我的钱比100元要多，所以损失就大。）

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#10

发表于 2005-4-2 23:04 资料主页文集短消息只看该作者

小马爱犬屋的这种分析是以对方的钱为基准，得出了“我”在这场赌博中不利的结论。但这不是同样奇怪吗，显然赌博的另一方也可以用同样的理由认为对自己不利。

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#11

发表于 2005-4-4 09:20 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由TOP于2005-04-01, 21:49:23发表
这个好象也是不一样的吧……楼上的把自己的１００元也算在收益里面，计算得到１５０＞１００。可是在楼主的问题中，不计算自己的成本，光收益也是大于成本的。
好象并没有找到症结。

你没看我的话啊：
“而如果你押中了给你150（你原来的100自然还你）”，意思就是你如果猜到了还给你100的基础上再给你150，或者你觉得混淆就改成250好了。

当然，你会困惑是觉得现实中不可能有这种情况，我也是相信现实中没有这种白痴的，因为任何人都知道这样他肯定会去赌一下。我只是说：“自己的所有钱未必就大于其他”

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#12

发表于 2005-4-4 09:57 资料短消息只看该作者

问题是，不是感觉怎么就怎么的，实际上，确实是有一方必定是不合算的，这本来就是客观存在的。

有利或不利不是固定的，因为双方的注本来也没有固定。

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#13

发表于 2005-4-4 10:04 资料短消息只看该作者

换了我就带张欠条去赌了………………

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#14

发表于 2005-4-4 11:08 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由重阳于2005-04-02, 7:11:38发表
把问题再说的透彻点，假定一个城市里所有的人身上带的钱都是随机的，而且每个人带多少钱的概率都是一样的。现在举办这么一个赌博，只有报名者才可以参加，在一个随机的时间由一个特定机构来随机地从报名者中选两个人按开始所说的办法来赌，那么你是否认为参加这样的赌博很合算呢？

我觉得是这样：单单论某次，肯定有人赚有人亏，但是现在因为加权的权重有问题，是用了“自己的钱”做为权重的，或者说是用“对方的钱比上（除以）自己的”来做为权重的，

这个活动在自己的钱少，也就是“对方的钱比上自己的钱”高的时候有利，再用值做为权重，这个权重在有利的时候就高，不利的时候就低，于是就总是显得有利了。

如果仅仅用盈亏的值本身做为权重，应该是平等的。

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#15

发表于 2005-4-4 11:40 资料文集短消息只看该作者

比如，假设对方的钱是X，自己的钱是Y，而假设钱有个上限为N。
那么对自己的钱进行加概率的积分，
在y∈(0,x)的时候自己赢了，赢到x，就是在(0,x)上积∫x dy图像是一个长方形图像是一个三角形，面积是：x^2
在y∈(x,N)的时候自己输了，输了y，就是在(x,N)上积∫y dy图像是一个直角梯形（一开始把xy搞反了，大一数学不过关啊，泪～），面积是(x+N)(N-x)/2=(N^2-x^2)/2，盈利为x^2*3/2-N^2/2

然后对这个在x∈(0,N)上积分，也就是在(x,N)上积∫(x^2*3/2-N^2/2) dx=[x^3/2-N^2*x/2](0,N)=N^3/2-N^3/2-0=0，也就是盈利是0，我没算错吧？？

当然，本来还是有一步：N->∞的，但是这样还是0。

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#16

发表于 2005-4-4 15:51 资料主页个人空间短消息只看该作者

这好像没什么概率的关系，赌博只有运气的问题。
但如果一方是有预谋（比如他钱包里压根就没钱）那他赢的概率就在90％以上，没有100％是因为对方可能正好没钱或者同样有预谋（那就不是概率的问题了，而是谋略高低的问题了）。

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#17

发表于 2005-4-4 20:13 资料短消息只看该作者

不知道对方钱包里的钱数，并不能说明概率是50%

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#18

发表于 2005-4-4 23:40 资料主页文集短消息只看该作者

金圭子的理解应该基本上是正确答案了。
这是一个分布概率的问题，问题虽简单，其实有着很丰富的数学内涵。

金圭子的说明中用到了一种特殊的概率分布，持每个钱数的概率都是相等的。实际上不论所持钱数的概率分布是怎样的，这种赌博收益的期望值都是0，既不会有利也不会不利。

在每个人带钱的习惯（就是概率分布）相同的情况下，参赌双方输赢概率各半是没有疑问的，问题不是出在这个地方。
问题在于，你赢的时候（就是对方钱比你多的时候）多半是身上的钱不多的时候，这时候赢到的钱虽然一定比自己身上的钱多，但因为自己带的钱本来就不多，所以赢到的钱并不会多到哪儿去，而输的时候却多半身上钱比较多。这个因素，刚好可以抵销掉问题中提到的优势。

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#19

发表于 2005-4-6 10:34 资料主页个人空间短消息只看该作者

在赌之前，双方的钱都是已经定了的，所以不存在概率问题！

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#20

发表于 2005-4-8 11:16 资料主页文集短消息只看该作者

在神看来，一切都是确定的。在数学家看来，概率无处不在。
神这是在抬杠了，这里考虑的就是概率问题。顶贴再修正一下，以避免这种种错觉。

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#21

发表于 2005-4-9 16:06 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由气流于2005-04-02, 6:22:29发表
问题在这一句：

赌博输赢的概率是由双方钱包里的钱事实上有多少——以及“可能有多少”——来决定的，不是由双方“认为有多少”决定的。双方知道不知道对方包里有多少钱和胜负的概率无关。这不是各是1/2的输赢。

正解。

有利不有利不是“我认为”，而是要实际来看的。

这场赌博单从外人角度来看，没有概率可言。或者说就是50％

但是从参与者来说，他知道自己带了多少钱，会在这个角度上参考一下概率。比我钱多的概率有多少，少的概率又有多少。

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#22

发表于 2005-4-10 11:43 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由金圭子于2005-04-04, 11:40:08发表
比如，假设对方的钱是X，自己的钱是Y，而假设钱有个上限为N。
那么对自己的钱进行加概率的积分，
在y∈(0,x)的时候自己赢了，赢到x，就是在(0,x)上积∫x dy图像是一个长方形图像是一个三角形，面积是：x^2
在y∈(x,N)的时候自己输了，输了y，就是在(x,N)上积∫y dy图像是一个直角梯形（一开始把xy搞反了，大一数学不过关啊，泪～），面积是(x+N)(N-x)/2=(N^2-x^2)/2，盈利为x^2*3/2-N^2/2

然后对这个在x∈(0,N)上积分，也就是在(x,N)上积∫(x^2*3/2-N^2/2) dx=[x^3/2-N^2*x/2](0,N)=N^3/2-N^3/2-0=0，也就是盈利是0，我没算错吧？？

当然，本来还是有一步：N->∞的，但是这样还是0。

柜子果然厉害！不过那些公式看着别扭啊……（特别是乘方的部分……看了N久才看明白了）
还不如直接用mathtype打出来再截图上传……

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#23

发表于 2005-4-10 11:48 资料短消息只看该作者

本来还应乘一个概率1/N的，不过在N是常熟的时候无关大局（当然加了概率好理解一些，那两个积分就相当于盈利（或亏损）的期望值）

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#24

发表于 2007-10-9 16:28 资料短消息只看该作者

我感觉还是有利的,因为钱输了最多是本钱,但是赢了可以有机会翻很多倍,我认识的赌博陪率都是<1的反还率的!从概率上来想,这个就可以是无限的翻很多倍啊!所以应该有利的吧

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#25

发表于 2007-10-12 13:39 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 金圭子 于 2005-4-4 11:40 发表
比如，假设对方的钱是X，自己的钱是Y，而假设钱有个上限为N。
那么对自己的钱进行加概率的积分，
在y∈(0,x)的时候自己赢了，赢到x，就是在(0,x)上积∫x dy图像是一个长方形图像是一个三角形，面积是：x^2
在y∈ ...

当 n -> 无穷的时候，类似的答案不能成立。这个问题和圣彼德悖论类似，都是创造出一个无穷大的摇钱树，然后玩命的往下摇。

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#26

发表于 2007-10-12 14:58 资料主页文集短消息只看该作者

认为有利的都可以去买股票了，至于以后倾家荡产什么的，以后再说吧。

"如果我输了，我输掉的是自己钱包里的钱；但如果我赢了，我赢的钱就会超过我钱包里的钱。因此这场赌博对我有利。"

这句话明显只考虑了后半句，前半句如果输了的情况，给忽略了。
在实际的投资中，总要首先考虑风险和收益比。比如我投资1块钱，如果风险很小能收入1分钱（存银行），还有的情况是我投资1块钱，收益能翻倍，但风险很大，可能血本无归（比如投资期货），这些都是要考虑的。
不考虑风险的投资就是赌博。
实际上这道题要考察的是当事人的心理承受能力。赌徒心理重的人，就会觉得有利，稳重的人，就会觉得风险大。

[ 本帖最后由疯猫于 2007-10-12 15:08 编辑 ]

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#27

发表于 2007-10-13 08:57 资料短消息只看该作者

当第一次捡钱包的时候,怎么证明钱少的概率要比钱多的概率高呢?这是说,风险相对于少是大还是相对多是大???能证明吗???我觉得应该至少两个钱包的钱多少比较应该是各50%吧,那么这应该是返还率等于1或大于1的赌博,最少来说应该是公平的吧!纵观各类的赌博?有那一个能是这样的?

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#28

发表于 2007-10-17 00:05 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 310819028 于 2007-10-13 08:57 发表

当第一次捡钱包的时候,怎么证明钱少的概率要比钱多的概率高呢?这是说,风险相对于少是大还是相对多是大???能证明吗???我觉得应该至少两个钱包的钱多少比较应该是各50%吧,那么这应该是返还率等于1或大于1的 ...

捡钱包如果不需要负法律责任，本来就是没风险的没本的只赚不赔的买卖，就算拣1分钱也是白赚。似乎举例不当。

[ 本帖最后由疯猫于 2007-10-17 00:06 编辑 ]

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#29

发表于 2007-10-17 00:11 资料主页文集短消息只看该作者

这是一个无法预期风险和收益的赌博，和概率没关系。
如果对方只有1分钱，而我有100元，那么这场赌博风险是极大，收益极小，很是不合算；如果对方有100元，我只有1分钱，那么这场赌博风险极小，收益极大，很是合算，就这么简单。
这和硬币的正反面概率不同，理论上的硬币概率，是有很多限定条件的，这些外在的条件，才决定了50%。如果条件放宽松，概率就没办法计算了，这种情况就和本题类似了。这又和打骰子一样，没做过手脚的骰子，6面出现的概率一样，但灌了水银的骰子，出那面只有老千知道了。

[ 本帖最后由疯猫于 2007-10-17 00:18 编辑 ]

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#30

发表于 2007-10-20 01:38 资料短消息只看该作者

概率不能单纯的加减，不能这么算。

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