出几个有趣的级数问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2004-12-25 11:55 资料主页短消息只看该作者

对下列求和:

1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...

注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!

5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...

注: 第六题难度很高!

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	疾风jf

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#2

发表于 2004-12-25 14:03 资料主页短消息只看该作者

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

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#3

发表于 2004-12-25 14:07 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由疾风jf于2004-12-25, 14:03:35发表

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

过程过程过程过程。。。。。。

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	疾风jf

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#4

发表于 2004-12-25 14:30 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由青木风亮于2004-12-25, 14:07:29发表

QUOTE:

原帖由疾风jf于2004-12-25, 14:03:35发表

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

过程过程过程过程。。。。。。

n=1    s=1                         =1
n=2    s=1+1/2                =3/2       =1+1/2    =1+(1x2-1)/1x2
n=3    s=1+1/2+1/3          =11/6       =1+5/6    =1+(2x3-1)/2x3
n=4    s=1+1/2+1/3+1/4 =23/12    =1+11/12  =1+(3x4-1)/3x4
......................................
n=n    s=1+{n(n-1)-1}/n(n-1)=1+(nxn-n-1)/(nxn-n)

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#5

发表于 2004-12-25 14:33 资料主页文集短消息只看该作者

疾风可能还没学过数学归纳法
找些书看看套一下吧

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	慕容血 (123)


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#6

发表于 2004-12-25 15:40 资料个人空间短消息只看该作者

这几个题就不和大家抢了，高尚一把

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#7

发表于 2004-12-25 15:59 资料主页短消息只看该作者

jf兄: 我以上列的求和可都是加到无穷的啊.

慕容兄: 我认为第六题难度还是相当高的, 不妨一试.

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#8

发表于 2004-12-25 16:28 资料主页个人空间短消息只看该作者

1. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
这个级数发散，如果非要说和，那就是无穷大

2. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
=ln2

3. 1 + (-1/2 + 1/3 + 1/5) + (- 1/4 + 1/7 + 1/9 ) + (-1/6 + 1/11 + 1/13) + ...
=3ln2/2

4. (-1/2 - 1/4 - 1/6 + 1) + (-1/8 - 1/10 - 1/12 - 1/14 + 1/3) + ...

这个还没算出来我猜和是0
注: 第二, 三, 四题的答案差别很大!

5. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
=pi^2/6

6. 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + 1/216 + ...
该级数收敛，但是具体数值至今没有人算出来

7. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...
该级数发散，和是无穷大

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#9

发表于 2004-12-25 16:53 资料主页短消息只看该作者

青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.

对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么?

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	瓦灰

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#10

发表于 2004-12-25 17:06 资料主页文集短消息只看该作者

楼主啊,高数书上的有关级数的题都比你出的难.

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#11

发表于 2004-12-25 17:14 资料主页短消息只看该作者

瓦灰: 我的前四题基本就是大一难度. 第五题稳近大二程度. 第七题一般大学本科课程里不应该讲过(除非你专业数学). 第六题尚为千古未解之题. 至少不觉得最后三题比高数课本里的简单, 若有不当之处, 还请指教.

但我想没学过级数的朋友们还是有希望硬算出来的, 计算以上级数的技巧都够灵活(例如, 第五题我见过十五种不同的证法*).

*相关文献: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf

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	青石 (临照轩)


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#12

发表于 2004-12-25 17:34 资料主页个人空间短消息只看该作者

3 4两题算错了？

呵呵回头我再看看学的东西太久没看都忘的差不多了

具体过程过段时间再写出来吧如果有必要的话

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	瓦灰

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#13

发表于 2004-12-25 17:36 资料主页文集短消息只看该作者

级数求和无非就是这几部:写通项引入幂级数判断敛散求和,求和方法比较多可以求极限,或者利用导数积分等求.
你出的题我没怎么细看有可能比较难,不过学过高数的人要求解应该不是什么难事.

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#14

发表于 2004-12-25 17:37 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天公将军于2004-12-25, 16:53:32发表
青石岭人: 1,2,5,6,7都对(不过我本来希望谁能算出第六题来...). 3, 4跟我想的答案不一样, 不过因为我没写下通向公式, 也怨不得. 3应该是正无穷, 4应该是负无穷.

对了, 有兴趣帖一下步骤/证明么?

如果谁能算出第6题，去申请数学博士学位应该没什么问题

我觉得

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#15

发表于 2004-12-26 19:08 资料主页文集短消息只看该作者

《射规》说出题最好不要涉及大学内容
尽量在初等数学的范围内解决

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#16

发表于 2004-12-29 18:03 资料主页个人空间短消息只看该作者

都用到发散和收敛及级数了，都是高等数学的

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