求教一个数学问题， - 水泊轩辕 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2014-10-29 23:04 资料个人空间短消息只看该作者

求教一个数学问题，

把求和式

Σ cos(wt+An)

表示成单一的正弦或余弦函数的形式cos(wt+Xn)

其中求和是对n进行。

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	三鬼夏树 (汉魂洋才)

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#2

发表于 2014-10-29 23:21 资料文集短消息只看该作者

傅里叶变换公式？
抱歉完全看不懂....
真是感觉我的未来是一坨屎.....

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	3_141592653589 (无尽圆周率)

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#3

发表于 2014-10-30 14:04 资料个人空间短消息只看该作者

这个不是傅立叶变换，傅立叶变换是频率分解，pt这个的变量是相位。
pt你用欧拉公式，把cos(wt+An)换成(e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
有误，删除：
然后你就会发现，除非你的相差A是pi/2的整数倍，否则你的要求不可能达成。
别说n个叠加了，你用2个相加就能得到这个结论。

[ 本帖最后由 3_141592653589 于 2014-10-31 11:12 编辑 ]

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#4

发表于 2014-10-30 20:35 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 3_141592653589 于 2014-10-30 14:04 发表
这个不是傅立叶变换，傅立叶变换是频率分解，pt这个的变量是相位。
pt你用欧拉公式，把cos(wt+An)换成(e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
然后你就会发现，除非你的相差A是pi/2的整数倍，否则你的要求不可能达成。
...

这个题居然N久没人应，好不容易你应了又是这样的结论。

不过咱设想了一种方法：

Σ cos(wt+An)＝Σ (coswt*cosAn-sinwt*sinAn)

=coswt*ΣcosAn-sinwt*ΣsinAn

令：
ΣcosAn＝BcosX
ΣsinAn=BsinX

则原式＝BcosXcoswt － BsinXsinwt = Bcos (wt + X)

对否？
有问题没有。

原题可以代表有相位关系的多个点n的振动效应。

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#5

发表于 2014-10-30 20:49 资料个人空间短消息只看该作者

因为这等于是说：多个不同相位的同频率振动可以叠加成一个单一的正弦振动，

所以，咱还是觉得有点不踏实。

还有没有高手发表意见？

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#6

发表于 2014-10-30 21:15 资料文集短消息只看该作者

合起来就是正弦吧
搞电路算交流电时不都这样么——虽然印象中一般是直接用复数算
也可以求出确切相位：

cos(wt+An) = (e^i(wt+An)+e^-i(wt+An))/2
则
Σ cos(wt+An)
= (e^iwt/2 * Σ (e^iA)^n) + (e^-iwt/2 * Σ (e^-iA)^n)
= (e^iwt/2 * (1 - e^iAN)/(1 - e^iA)) + (e^-iwt/2 * (1 - e^-iAN)/(1 - e^-iA))
= (1 - e^iAN)/(1 - e^iA) * e^(-iA(N-1)/2) * (e^i(wt + A(N-1)/2) + e^-i(wt + A(N-1)/2))/2
= B * cos(wt + A(N-1)/2)
其中 B = (1 - e^iAN)/(1 - e^iA) * e^(-iA(N-1)/2) = (e^-iAN/2 - e^iAN/2)/(e^-iA/2 - e^iA/2) 是实数
以上按n=0,...,N-1

我也十几年没算过了，楼主你也再检查一下吧……

[ 本帖最后由 muzhi 于 2014-10-31 08:36 编辑 ]

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#7

发表于 2014-10-31 10:43 资料文集短消息只看该作者

靠，看到这些公式才发现以前学的全还给老师了。

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	3_141592653589 (无尽圆周率)

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#8

发表于 2014-10-31 11:16 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #5 ptcn 的帖子
我后面想错了，当时拍脑门想当然觉得做不下去，其实按木之的思路是可以做下去的。

回复 #6 muzhi 的帖子
大体没问题，中间好像应该有一次变号，出来的应该是(e^i(wt + A(N-1)/2) - e^-i(wt + A(N-1)/2))/2 = i * sin(wt + A(N-1)/2)
这样的话那个B似乎是个纯虚数。

叠加和积分很像，积分cos出来是sin，那叠加出来的应该也是。

[ 本帖最后由 3_141592653589 于 2014-10-31 12:18 编辑 ]

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#9

发表于 2014-10-31 11:30 资料文集短消息只看该作者

回复 #8 3_141592653589 的帖子

你这个变号是没有的……
你可以把N=1代入试一试……
一组实数加起来也不会是纯虚数啊……

这么做确实繁琐了……
如果真有必要，楼主不妨找本电路原理的书看一眼交流电部分

[ 本帖最后由 muzhi 于 2014-10-31 11:38 编辑 ]

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#10

发表于 2014-10-31 12:21 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #9 muzhi 的帖子

是没有，果然是把好多东西还给老师了。

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#11

发表于 2014-10-31 19:47 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 muzhi 于 2014-10-31 11:30 发表
你这个变号是没有的……
你可以把N=1代入试一试……
一组实数加起来也不会是纯虚数啊……

这么做确实繁琐了……
如果真有必要，楼主不妨找本电路原理的书看一眼交流电部分

这个好像不是交流电问题，而是有相位关联的多点振动的表示。

好吧，也可能是交流电，或许是一回事。

咱只是要一个统一的正弦表示。如果楼上咱的表示各位都没看出问题，那咱就放心了。

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#12

发表于 2014-10-31 23:49 资料个人空间短消息只看该作者

从复数解析几何角度理解，多个同频振荡相当于一个单一振荡没问题的。

咱只是之前比较害怕那个相位关系。

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#13

发表于 2015-2-13 23:22 资料个人空间短消息只看该作者

顶一下，以配合高中老师的三角讨论。这个例题里，咱用的是和差，中间某人用了欧拉，欧拉也肯定可以做的，但他没做完。咱这个题已经过去了，就无意追究欧拉了。

但实际上，咱当初是低估了相关问题的复杂程度了，因为之后实际写出的表达比本贴里写的要复杂些，至少COS之前还有个随n改变的系数，而且还夹杂有其他运算，但总体上还是三角运算。

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#14

发表于 2015-2-13 23:45 资料短消息只看该作者

从傅立叶的角度看，由于所有相加的函数频率都是一样的，所以总和也是一个 sin 或 cos（具体选哪个看个人偏好）。

3 楼和 6 楼的出发点都有问题。3 楼把问题复杂化了，6 楼假设了 An 是等差数列了吧？

Σ exp(i(wt+An)) = exp(iwt) Σexp(iAn) = exp(iwt)z

这里 z = Σexp(iAn) = Σ cos(An) + i Σ sin(An).

所以，|z| = sqrt((Σ cos(An))^2 + (Σ sin(An))^2)，arg(z) = arctan(Σ sin(An) / Σ cos(An))。

因此，Σexp(i(wt+An)) = |z|exp(iwt + arg(z))

实数部分：Σ cos(wt + An) = sqrt((Σ cos(An))^2 + (Σ sin(An))^2) cos(wt + arctan(Σ sin(An) / Σ cos(An)))。

[ 本帖最后由穎穎于 2015-2-14 00:57 编辑 ]

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