有趣的小题目——尺规作图画三角形 - 辕门射虎


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#1

发表于 2007-12-30 12:00 资料个人空间短消息只看该作者

有趣的小题目——尺规作图画三角形

任何一个三角形都有三条边~那么可以依据这三条边做出三个正方形~然后正方形有中心~所以可以得到三个中心~

题目1：任意画一个三角形，然后用尺规作图画出三个正方形的中心（白痴题~）
题目2：把原来的三角形和画出来的正方形擦掉，只留下三个正方形的中心（就是纸上现在只有三个点了……）请用尺规作图把原来的三角形画出来~

……反正我不但做不出来，连解答都看不太懂就是了……

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#2

发表于 2007-12-30 14:05 资料短消息只看该作者

这个答案是否唯一,还不知道,感觉很难

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#3

发表于 2007-12-30 17:07 资料个人空间短消息只看该作者

第一道，作三边中垂线再截取和每边一半相等的长，交点就是中心
问个问题：是向外作正方形还是向内作正方形？

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#4

发表于 2007-12-31 00:18 资料个人空间短消息只看该作者

恩~是向外作正方形~这个我没说清楚~

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#5

发表于 2008-1-1 02:16 资料主页文集短消息只看该作者

初步想法用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

令三正方形中心分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
ya=1/2(x1+y1+y2-x2)
通过置换类似地
xb=1/2(x1+y1+x3-y3)
yb=1/2(x3+y3+y1-x1)

xc=1/2(x3+y3+x2-y2)
yc=1/2(x2+y2+y3-x3)
解得
x2=xb+yb+xa-ya
y2=xa+ya+yb-xb
...

类似地解出所有位置关系取平面上任意点作直角坐标系则三中心到坐标轴距离可截取用尺规划弧法截取定距离求出三顶点然后连成三角形

ms有点无耻

[ 本帖最后由青木风亮于 2008-1-1 03:15 编辑 ]

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#6

发表于 2008-1-1 13:23 资料个人空间短消息只看该作者

……我其实这么做过~但是~好像是算出来也没意义的~

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#7

发表于 2008-1-1 13:57 资料主页文集短消息只看该作者

不要好像

为什么没意义？

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#8

发表于 2008-1-1 16:56 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 青木风亮 于 2008-1-1 02:16 发表
初步想法用解几研究一下关键点位置关系看看...try

令原三角形三点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

令三正方形中心分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）

则xa=1/2(x2+y2+x1-y1)
ya=1/ ...

诶~~~解析几何是无敌的。。

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#9

发表于 2008-1-2 07:34 资料个人空间短消息只看该作者

是这样的~算出来和用尺规画出来还是有一定距离的……

其实更重要的是我算不出来~

另外，xa=1/2(x2+y2+x1-y1)是什么意思？

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#10

发表于 2008-1-2 18:53 资料主页文集短消息只看该作者

你没懂我的意思啊尺规作图不就是用圆规取点和距离吗能过点作一条直线垂线不就可以取距离吗然后在直线上用圆规画弧作代数运算好了

QUOTE:

xa=1/2(x2+y2+x1-y1)

就是中心a的横坐标由1，2两个顶点的坐标决定再反过来就可以推算出用中心的坐标求出三角形顶点的坐标就是一种映射关系也许可以用矩阵之类的东西表达不过我没学过

我承认这个方法是取巧把代数映射关系转化成欧氏几何的方法我没想到

研究一下平几定理好了要不你直接贴答案大家参详或者等待高人解答...

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#11

发表于 2008-1-7 17:43 资料主页文集短消息只看该作者

不好意思算错了由中心推顶点 a、b、c为中心 xa,ya...为已知量

x1=yb-yc+xa
y1=xc-xb+ya
...(按b->a c->b a->c置换)
x2=ya-yb+xc
y2=xb-xa+yc

x3=yc-ya+xb
y3=xa-xc+yb

等下用flash验证

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#12

发表于 2008-1-8 22:40 资料主页个人空间短消息只看该作者

设原三角形为ABC

以AB为边作的正方形中心为P

以BC为边作的正方形中心为Q

以CA为边作的正方形中心为R

可以证明：
AQ与PR垂直且相等

BR与PQ垂直且相等

CP与QR垂直且相等

所以，如果已知三角形PQR，尺规作出三角形ABC的方法如下：
过Q作直线垂直于PR，然后在靠近PR的一边取点A使得AQ=PR
这样就得到所要的A点
B、C类似作出

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