比大小 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2007-8-15 20:41 资料主页短消息只看该作者

比大小

刚刚那个自然数的题似乎没什么难度，再来一个最近被面试的题：

A = 所有数字里有 9 的自然数。比如说，9, 19, 29, ... , 90, 91, 92, ... 都是 A 的元素。

B＝所有数字里都没有 9 的自然数。比如说，1, 2, ... , 8, 10, 11, ... , 18, 20, 21, ... 都是 B 的元素。

S ＝ \sum_{x in A} 1/x = 1/9 + 1/19 + ... + 1/89 + 1/90 + ...
T = \sum_{x in B} 1/x = 1/1 + 1/2 + ... + 1/8 + 1/10 + ...

问：S, T 之间哪个大？

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#2

发表于 2007-8-16 01:49 资料个人空间短消息只看该作者

这个...

y1=x,y2=x^2
当x->正无穷大,y1,y2哪个大?

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#3

发表于 2007-8-16 03:23 资料文集短消息只看该作者

都是无穷大吧，一样大

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	lcarron78

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#4

发表于 2007-8-16 08:11 资料主页个人空间短消息只看该作者

for example,
\sum_{x in A,x < 110} 1/x = 1/9 + 1/19 + ... + 1/89 + 1/90 + ... + 1/109
>  1/9 + 1/19 + ... + 1/89 + 1/99 + 1/109
>  1/10 + 1/20 + ... + 1/90 + ... + 1/100
=  1/10 * (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10)

1/10 * (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... ) = 无穷大,
S=无穷大

\sum_{x in A, x < n} 1/x > \sum_{x in B, x < n} 1/x ,
but S = 无穷大
So, T = 无穷大 = S

不知道对不

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	KYOKO (★御姐控★)


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#5

发表于 2007-8-16 11:30 资料个人空间短消息只看该作者

自然数中10的倍数和非10的倍数哪个多?

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	djgan (蓝色征途)


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#6

发表于 2007-8-16 11:59 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #5 KYOKO 的帖子

对应一个十的倍数的自然数有9个不是十的倍数的自然数

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#7

发表于 2007-8-16 21:27 资料主页短消息只看该作者

给大家一个提示，在所有 n 位数的自然数中，其十进位表示没有９的占 (9/10)^n -> 0，当 n->无穷大。

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	reynolds_wwy

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#8

发表于 2007-8-16 22:03 资料短消息只看该作者

公主想问的是部分和？比如到10^n的？

否则的话貌似没问题呀
两个级数都发散的怎么比？

请无视我这贴吧谢谢～～～～，上面的话是错的

[ 本帖最后由 reynolds_wwy 于 2007-8-16 23:22 编辑 ]

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#9

发表于 2007-8-16 22:35 资料主页短消息只看该作者

两个级数都发散的怎么比？

This statement needs a proof.

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	reynolds_wwy

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#10

发表于 2007-8-16 23:07 资料短消息只看该作者

回复 #9 天宫公主的帖子

额。。。我知道错了~~~

一下子傻住了sigh

而且没看公主七楼的提示

大家无视我8楼的回答好了那个是错的

至今没见到正确答案饿。。。

[ 本帖最后由 reynolds_wwy 于 2007-8-16 23:21 编辑 ]

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	edyswghe

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#11

发表于 2007-8-17 02:24 资料文集短消息只看该作者

4楼的哪里不对了？
1+1/2+1/3+……是发散的,设为A
而S的任意有限加和=1+1/9+1/19+……+1/89+1/90+……1/99+……〉1+1/10+1/20+……+1/90+1/100+……=1/10*（A的有限加和）是发散的
对于任何有限项加和，T>S，所以T也是发散的

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#12

发表于 2007-8-17 05:11 资料主页个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2007-8-17 01:27 发表
给大家一个提示，在所有 n 位数的自然数中，其十进位表示没有９的占 (9/10)^n -> 0，当 n->无穷大。

Why? Why not 9/10?

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#13

发表于 2007-8-17 10:22 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 edyswghe 于 2007-8-17 02:24 发表
4楼的哪里不对了？
1+1/2+1/3+……是发散的,设为A
而S的任意有限加和=1+1/9+1/19+……+1/89+1/90+……1/99+……〉1+1/10+1/20+……+1/90+1/100+……=1/10*（A的有限加和）是发散的
对于任何有限项加和，T> ...

天机不可泄露

不过这个"证明"的严谨程度, 和我之前证明所有自然数相等的差不多。

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#14

发表于 2007-8-17 13:10 资料文集短消息只看该作者

光去想S了，忘了考虑T，想当然的以为T比S大了

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#15

发表于 2007-8-17 18:25 资料短消息只看该作者

回复 #15 edyswghe 的帖子

恩和我犯一样的错误了哈

看来思维定势的确害人

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#16

发表于 2007-8-17 20:39 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2007-8-17 12:10 发表
12F, N位数中任意一位含有9就属于A集合了
好像T是有限的,这个粗略地看确实难以想到:
根据公主的提示,T中N位数的部分和 T_N < (10^N)*(0.9^N)/(10^(N-1))=10*(0.9^N)
T=ΣT_N<90
对么?

嗯，是这样的。 S 发散，T 收敛。
其实可以证明 T ＜ 23 (面试我的人后来告诉我的)，不过我面试的时候也是证出 T<90 （等比数列比较好加，反正只要得出 T 收敛就过关）。

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#17

发表于 2007-8-18 01:09 资料个人空间短消息只看该作者

T收敛

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	asky (春意思)

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#18

发表于 2007-8-18 01:10 资料个人空间短消息只看该作者

哈哈哈哈哈,直觉对了.

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#19

发表于 2007-9-1 19:08 资料文集短消息只看该作者

通过这题我隐约的明白了收敛和发散的意思。。

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#20

发表于 2007-9-3 15:23 资料短消息只看该作者

應該是Ｔ大吧
Ｔ裏的前幾個數之和就要遠在大於Ｓ裏的前幾個數之和

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#21

发表于 2007-9-6 23:23 资料主页个人空间短消息只看该作者

发现我的证明方式是错误的。

咳咳，还是大家继续玩吧。

[ 本帖最后由 TOP 于 2007-9-7 01:25 编辑 ]

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#22

发表于 2007-9-6 23:51 资料个人空间短消息只看该作者

惊现TOP大神

说实话偶看不懂，偶就不素个数学好学生...

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#23

发表于 2007-9-7 23:24 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2007-8-17 12:10 发表
12F, N位数中任意一位含有9就属于A集合了
好像T是有限的,这个粗略地看确实难以想到:
根据公主的提示,T中N位数的部分和 T_N < (10^N)*(0.9^N)/(10^(N-1))=10*(0.9^N)
T=ΣT_N<90
对么?

Tn<8*(9/10)^(N-1)更好

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#24

发表于 2007-9-28 15:33 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 蕭異嵐 于 2007-9-9 22:49 发表

nod,
不等式和女人一样,都要"紧"些比较好

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