从囚犯点灯引出来的问题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	sunnybill

组别	士兵
级别	偏将军
功绩	5
帖子	379
编号	91349
注册	2006-11-14

#1

发表于 2007-7-2 18:52 资料短消息只看该作者

从囚犯点灯引出来的问题

如果有n个不同的球，每次随机取一个，然后放回。
那第一次把所以球都取遍所需要次数的数学期望是多少啊？

[广告] 《精忠报国岳飞传完整版》火热发布


	reynolds_wwy

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	104
编号	10546
注册	2004-7-9

#2

发表于 2007-7-3 23:36 资料短消息只看该作者

Sum[k*0.01^k*100*Sum[Binomial[99, j]*j^(k - 1)*(-1)^(99 - j), {j, 0, 99}], {k, 100, ∞}]

我知道这个答案很傻...但是至少应该是对的...

k(次数)从100到3000的期望是519不到一点，3000到4000的期望已经是1e-8的数量级了，所以估计大概就是519不到一点了

[广告] 真诚支持说岳，携手共创辉煌


	reynolds_wwy

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	104
编号	10546
注册	2004-7-9

#3

发表于 2007-7-5 01:13 资料短消息只看该作者

k表示第k次的时候，全部100个数都出现过且k-1次的时候仅出现了99个数。

这样第k次出现的数共有100种不同可能。

Sum[Binomial[99, j]*j^(k - 1)*(-1)^(99 - j), {j, 0, 99}]表示前k-1个数遍历其余99个不同数字的所有排列种数。

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！


	reynolds_wwy

组别	百姓
级别	奋威校尉
功绩	1
帖子	104
编号	10546
注册	2004-7-9

#4

发表于 2007-7-26 23:04 资料短消息只看该作者

我以前那个答案太傻了
其实n/n+n/(n-1)+n/(n-2)+...+n/1就可以了

今天看到那个囚犯点灯又被顶上来就仔细想了会儿

上面那个式子里面第i项表示前i-1个球被摸出来之后开始算起，摸出来一个新球所需的次数的期望，稍微算一下就能够得到这个结果了。

如果n=100的话这个和约是518.738

[广告] 安装Alexa工具条，提高轩辕排名，支持轩辕发展！