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让我试试
2006边形内角为(2006-2)/2006pi=1002/1003pi;
令a=pi-1002/1003pi=1/1003pi;
考虑构造复数 z_1, z_2, ... , z_2006, |z_i| = a_i, a_i 是 {1^2, 2^2, ... , 2006^2} 的一个排序中的第i个元素, arg(z_i) =a*(i-1) ．令 A_0 = 0, A_i = A_0 + z_1 + ... + z_i，如果 A_2006 = 0，那么复数 A_1, A_2, ... , A_2006 所指向的位置就是这个 2006 边形的顶点坐标．
令z=cos(a)+isin(a) 有
A_2006=a_1+a_2*z+a_3*z^2+...+a_2006*z^2005 (1)
z^1003=cos(pi)=-1 (2)
1+z^2+z^4+...+z^2004=0 (3)
令a_(2k-1)=b_k^2 (4)
试取a_(2k+1002)=(b_k+1003)^2,a_(2006+r)=a_r (5)
其中k=1,2,..,1003,则z^(2k-1)=z^(1003)*z^(2k-1002)=-z^(2k-1002)(奇次幂置换为偶次幂)
综上 A_2006=∑[a_(2k-1)-a_(2k+1002)]*z_(2k-2)
=-2006∑b_k*z^(2k-2)-1003^2∑z^(2k-2)
=-2006∑b_k*z^(2k-2) (6)
k=1,2,..,1003
讨论b_k
2006=2*17*59
由1-(z^34)^59=0,1-z^34 !=0 得
1+z^34+z^68+...+z^1972=0
因而
u_h(z^2h+z^(2h+34)+...+z^(2h+1972))=0 (7)
u_h为辅助变量，h=0,1,2,...,16
类似地
v_j(z^2j+z^(2j+118)+...+z^(2j+1888))=0 (8)
j=0,1,2,...,58
把所有形如(7)(8)的等式相加，得
∑b_k*z^(2k-2)=0 (9)
其中 b_k=u_h+v_j (10)
(k=1,2,...,1003) h=(k-1) mod 17;j=(k-1) mod 59
将(9)代入(6)得 A_2006=0
若取u_h=59h,(h=0,1,2,...,16) v_j=j+1,(j=0,1,2,...,58) 代入(10),由于17与59互质，所得的1003个b_k值各不相同，且1<=b_k<=1003,所以b_1,b_2,...,b_1003的值是1,2,...,1003的一个排列。再把b_k的值代入(4)(5)得到a_1,a_2,...,a_2006是1^2,2^2,...,2006^2的一个排列，综上构造出一个满足条件的2006边形
把17和59换成任意两个互质的大于1的奇数，推广为下面的命题：
对任意两个互质的大于1的奇数p和q,存在满足以下条件的凸2pq边形：
(1)所有内角都相等；
(2)将其各边顺次编号，奇数号码的边长是1^2,2^2,...,(pq)^2的一个排列，偶数号码的边长是(pq+1)^2,(pq+2)^2,...(2pq)^2的一个排列
边数最少为30...
[ 本帖最后由 青木风亮 于 2007-5-5 20:22 编辑 ]
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