不好意思~ - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


	夜雨落枫 (欧阳枫)

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#1

发表于 2007-2-4 23:04 资料个人空间短消息只看该作者

不好意思~

设三个整数a、b、c的最大公约数是1，且满足条件1/a+1/b=1/c ，求证：（a+b）、（a-c）和（b-c）都是完全平方数.

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#2

发表于 2007-2-4 23:15 资料个人空间短消息只看该作者

还有一题
有一串数1，1，2，3，5，8，…从第3个数起，每个数都是前2个数之和，在这串数的前100000000个数中，是否存在一个末四位全是0的数？
（已经解出）
解：对数列中每相邻两项an，an+1，设他们的末四位数字分别为xn，xn+1（不足四位的，在左边补0成为四位数）。

由于xn有10^4种（从0000到9999），xn+1也有10^4种，所以有对序（xn，xn+1）共有10^4*10^4=10^8（种）。

(x1,x2),(x2,x3),……,(x100000001,x100000002)共100000001个，其中必有两个完全相同，设i<j，而(xi,xi+1)=(xj,xj+1)(即xi=xj,xi+1=xj+1)。

由于xi-1=xi+1-xi,xj-1=xj+1-xj,所以xi-1=xj-1,即(xi-1,xi)=(xj-1,xj).依此类推，直至(x1,x2)=(xj-i+1,xj-i+2).

于是xj-i+1的末四位数字xj-i+1=x1,即全都是0。

可以验证数列的第7501项是第一个末四位数字全为0的项。

[ 本帖最后由夜雨落枫于 2007-2-5 00:01 编辑 ]

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	zuziwuming

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#3

发表于 2007-2-6 21:16 资料短消息只看该作者

考虑可以从证 (a+b)^0.5=(a-c)^0.5+（b-c）^0.5（1）入手
（1）式等价于：a+b=a+b-2c+2(ab+c*c-bc-ac)^0.5
      等价于：ab-bc-ac=0
         因为 1/a+1/b=1/c，
所以  ab-bc-ac=0
            所以  (a+b)^0.5=(a-c)^0.5+（b-c）^0.5成立
以下采用反证法证明(a-c)^0.5为整数：
设存在整数k、Z使(a-c)^0.5为无理数
      即 (a-c)^0.5＝k*Z^0.5成立，其中Z^0.5不可再化简，
那么必然有（b-c）^0.5＝t* Z^0.5，否则（1）不成立，
所以：a-c＝Z*k^2
   b-c=Z*t^2
   a-b=( k^2 -t^2)Z
   a+b=( k^2 +t^2)Z+2kt*Z
所以a、b有公约数Z且Z不为1，与已知矛盾
所以(a-c)^0.5为整数

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青木风亮

2007-2-9 03:15

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