数论趣题 - 辕门射虎 - 轩辕春秋文化论坛 20周年


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#1

发表于 2006-9-16 23:46 资料主页短消息只看该作者

数论趣题

求证：对任何自然数 n，1919190 可以被 n^37 - n 整除。

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#2

发表于 2006-9-16 23:56 资料个人空间短消息只看该作者

请问LZ会吗

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#3

发表于 2006-9-17 00:37 资料主页短消息只看该作者

会，三天内没有人答出的话，我会给提示。

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	Z_Artemis (冠子)


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#4

发表于 2006-9-17 01:36 资料个人空间短消息只看该作者

MS应该是“ n^37 - n 可以被1919190整除。”吧？
哪有小的数能被大的数整除的道理？

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	风云再现


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#5

发表于 2006-9-17 10:04 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-16 23:46 发表
求证：对任何自然数 n，1919190 可以被 n^37 - n 整除。

当 n=1时，n^37 - n=0，原命题不成立！！！

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#6

发表于 2006-9-17 10:18 资料个人空间短消息只看该作者

MS2者写反了

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#7

发表于 2006-9-17 10:43 资料个人空间短消息只看该作者

1919190=2*3*5*7*13*19*37
N^37-N=N(N+1)(N-1)(N^2+1)(N^2-N+1)(N^2+N+1)(N^4-N^2+1)(N^6+N^3+1)(N^6-N3+1)(N^12-N^6+1)
偶刚初一啊，大师们多指教，不知分解的对不对，希望对各位有参考

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#8

发表于 2006-9-17 10:54 资料文集短消息只看该作者

楼上其实已经做出来了，最没有技巧的，用楼上的结论和数学归纳法（应该）即可证明了。

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#9

发表于 2006-9-17 10:58 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 crayfish 于 2006-9-17 10:54 发表
楼上其实已经做出来了，最没有技巧的，用楼上的结论和数学归纳法（应该）即可证明了。

请具体些

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#10

发表于 2006-9-17 11:15 资料文集短消息只看该作者

n=2带入验证即可，
假设m=N时成立，则m=N+1时，代入,可能演算量巨大。
可以试试用余数分别验证每一个质约数。
2,3,很简单。后面的也可能麻烦。

N年没摸笔了，还是等答案舒服......

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#11

发表于 2006-9-17 11:20 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 crayfish 于 2006-9-17 11:15 发表
n=2带入验证即可，
假设m=N时成立，则m=N+1时，代入,可能演算量巨大。
可以试试用余数分别验证每一个质约数。
2,3,很简单。后面的也可能麻烦。

N年没摸笔了，还是等答案舒服......

2，3，5我都已经证出来了，后面7，13，19，37很麻烦

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	crayfish

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#12

发表于 2006-9-17 11:34 资料文集短消息只看该作者

7=2*3+1
13=2*3*2+1
19=2*3*3+1
37=2*2*3*3+1
因此证明左侧N+1时对2*3/2*3*2等同模(大概是这个名词吧)
f(N+1)=f(N)=1 (mod 2*3*2*3)等等

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#13

发表于 2006-9-17 11:46 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 crayfish 于 2006-9-17 11:34 发表
7=2*3+1
13=2*3*2+1
19=2*3*3+1
37=2*2*3*3+1
因此证明左侧N+1时对2*3/2*3*2等同模(大概是这个名词吧)
f(N+1)=f(N)=1 (mod 2*3*2*3)等等

这个规律很不错，但是
因此证明左侧N+1时对2*3/2*3*2等同模(大概是这个名词吧)
f(N+1)=f(N)=1 (mod 2*3*2*3)等等
是不是同余的意思？那么
f(N+1)=f(N)=1 (mod 2*3*2*3)
又是什么意思？
P.S:节约水地，我们私下里PM

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#14

发表于 2006-9-17 13:49 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-9-17 10:18 发表
MS2者写反了

Umm.... Prove that for every positive integer n, 1919190 divides n^37 - n.

大家爱怎么翻译怎么翻译吧，我也不知道写反了没有。

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#15

发表于 2006-9-17 14:59 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-17 13:49 发表

Umm.... Prove that for every positive integer n, 1919190 divides n^37 - n.

大家爱怎么翻译怎么翻译吧，我也不知道写反了没有。

应该反了
否则会出现那个除数为0的问题

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#16

发表于 2006-9-17 15:56 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 夜雨落枫 于 2006-9-17 10:43 发表
1919190=2*3*5*7*13*19*37
N^37-N=N(N+1)(N-1)(N^2+1)(N^2-N+1)(N^2+N+1)(N^4-N^2+1)(N^6+N^3+1)(N^6-N3+1)(N^12-N^6+1)
偶刚初一啊，大师们多指教，不知分解的对不对，希望对各位有参考

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小定理) mod 19
因此，19 | N^37 - N。

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#17

发表于 2006-9-17 16:28 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-17 15:56 发表

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小 ...

汗，偶刚初一，费尔马小定理知道，但是什么欧拉定理就不清楚了……

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#18

发表于 2006-9-17 16:52 资料短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-17 15:56 发表

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小 ...

显然，N^19 - N divides N^37 - N

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	青木风亮 (枯木)


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#19

发表于 2006-9-17 21:49 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由 天宫公主 于 2006-9-17 15:56 发表

可以按照这个思路考虑一下：

37 | N^37 - N: 费尔马小定理显然

N^37 - N = N^19.N^18 - N^19 + N^19 - N
= N^19(N^18 - 1) + N^19 - N
= N^19(N^phi(38)-1) + N^19 - N
= 0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小 ...

令f(N)=N^37-N
f(0)=f(-1)=f(1)=0 由因式定理 (N-1)N(N+1)为f(N)因式故2，3|f(N)

由公主证明19,37|f(N)

N^37-N=N^13.N^24 - N^13 + N^13 - N
= N^13(N^24 - 1) + N^13 - N
=N^13(N^12-1)(N^12+1)+N^13-N
= N^13(N^phi(13)-1)(N^12+1) + N^13 - N
=0 (欧拉定理) + 0 (费尔马小定理) mod 13
因此，13 | N^37 - N。

同理可证，5|f(N)。

N^19-N=N^7(N^phi(7)-1)(N^6+1)+N^7-N
故，7|N^19-N, 因为N^19-N|N^37-N 故7|N^37-N

综上 2,3,5,7,13,19,37均整除N^37-N f(2)>1919190 故1919190|f(N)

[ 本帖最后由青木风亮于 2006-9-17 21:56 编辑 ]

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#20

发表于 2006-9-17 23:45 资料主页短消息只看该作者

青木正解，基本上就是这样的。

其实拿归纳法硬算也不是没希望的。

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#21

发表于 2006-10-2 16:42 资料个人空间短消息只看该作者

回复 #14 天宫公主的帖子

仅仅从翻译角度，应该是：n^37 - n能够被1919190整除

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