请教一元三次方程的求根公式 - 辕门射虎


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#2

发表于 2006-2-11 18:35 资料主页个人空间短消息只看该作者

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#3

发表于 2006-2-12 12:32 资料个人空间短消息只看该作者

另,三元以上有没有求根公式?


	crayfish

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#4

发表于 2006-2-12 13:33 资料文集短消息只看该作者

没记错的话，一元5次以上的方程才没有通用的求根公式，因为其方程预解式为更高次的方程。
具体到一元三次，x^3+ax^2+bx+c=0
需要先转化成x^3+Ax+B=0的形式，然后再通过一个转化（忘了这个公式了，汗），可以转化为二次方程从而求解

google了一下子
http://dev.csdn.net/article/70/70445.shtm


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#5

发表于 2006-2-13 13:31 资料文集短消息只看该作者

其实三次的如果可以直接找他其一个解就可以做除法，变成二次的


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#6

发表于 2006-2-13 14:02 资料个人空间短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由平生最爱周公瑾于2006-02-13, 5:31:51发表
其实三次的如果可以直接找他其一个解就可以做除法，变成二次的

等于没说,知道一个解的话那就是让你解二次方程了,还要什么公式


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#7

发表于 2006-2-13 15:01 资料文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由KYOKO于2006-02-13, 14:02:56发表
等于没说,知道一个解的话那就是让你解二次方程了,还要什么公式

。。。我只能想起这么多了啊，还是高中学的，记得那时候题最多也就这么难吧…………

我是学经济的，没学过太深奥的数学，让你见笑了


	crayfish

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#8

发表于 2006-2-13 21:54 资料文集短消息只看该作者

楼上的不必妄自菲薄，三次方程的解法普通高等数学里应该是没有的，也不是初等数学的内容（记得高中数学奥赛没有相关内容的），记得以前看到的科普书里提到相关证明时需要使用群论的知识，所以个人猜想在高等数学里的群论部分可能会提到这个问题。

N年前看过的科普书系列《数学故事丛书》，包括偶然中的必然——概率，未知中的已知——方程，否定中的肯定——逻辑，无限中的有限-极限，变量中的常量——函数，抽象中的形象——图形，6小分册，用初中生能看懂的知识深入浅出的介绍了数学上很多有趣的东西，不知坛子里是否还有这套书的读者。


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#9

发表于 2006-2-18 23:52 资料主页个人空间短消息只看该作者

ax^3+bx^2+cx+d=0
用x+b/3a替换x化简为x^3+px+q=0

为了方便，下面解x^3=px+q
设x=m+n
则m^3+n^3+3mnx=px+q
所以m^3+n^3=q 3mn=p
m、n可以解出来
m^3+n^3=q
m^3*n^3=p^3/27
m^3 n^3可以解出来（解一元二次方程）
然后得到m、n
最后就得到x
x的表达式就是卡当公式

PS：
高中参加过联赛的人，应该都见过一元三次方程的求根公式——卡当公式
解一元四次方程，转化为解一个三次方程和两个二次方程


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#10

发表于 2006-2-19 00:34 资料主页文集短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由crayfish于2006-02-13, 8:54:08发表
楼上的不必妄自菲薄，三次方程的解法普通高等数学里应该是没有的，也不是初等数学的内容（记得高中数学奥赛没有相关内容的），记得以前看到的科普书里提到相关证明时需要使用群论的知识，所以个人猜想在高等数学里的群论部分可能会提到这个问题。

N年前看过的科普书系列《数学故事丛书》，包括偶然中的必然——概率，未知中的已知——方程，否定中的肯定——逻辑，无限中的有限-极限，变量中的常量——函数，抽象中的形象——图形，6小分册，用初中生能看懂的知识深入浅出的介绍了数学上很多有趣的东西，不知坛子里是否还有这套书的读者。

看过一本《无限中的有限》，其他的书因为当时没钱，买不起。


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#11

发表于 2006-2-19 01:00 资料个人空间短消息只看该作者

对于三次方程
ax^3+bx^2+cx+d=0
令x=y-b/(3a)，方程化为
y^3+py+q=0
其根为
x1=u+v
x2=ue+ve^2
x3=ve+ue^2
其中
e=cos(2*PI/3)+isin(2*PI/3)
u=(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)
v=(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))^(1/3)
这就是Cartan公式。


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#12

发表于 2006-2-19 01:03 资料个人空间短消息只看该作者

晕，仔细一看偶上一楼的和青石的只是字母不同，

所以去网上找了一下，发现了这个。。。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A++3(A

^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A++3(A

^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(A

^(1/3)x－(A+＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
　　式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
根据公式可以算出第一个根是:
(-1/2-(31/108)^(1/2))^(1/3)+(-1/2+(31/108)^(1/2))^(1/3)
在根据多项式理论和已经求出的X,把三次方程降次为2次，用韦达定理算出另外两解即可


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#13

发表于 2006-2-19 05:01 资料主页短消息只看该作者

比较实用的解法, 也是我最喜欢的, 是利用三角函数的一个恒等关系.

x^3 + ax^2 + bx + c = 0 转换成 y^3 + gy + h = 0
不难想象吧? (用最笨的办法, 配个立方出来也可以啊).

然后利用: sin(3z) = (sin z)^3 - 4 sin z.

顺便说一下, 四次方程可以利用椭圆函数(双向周期函数)的类似关系求解.

五次方程被证明不可能有通项公式, 简单的说是因为A_5群没有正子群.


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#14

发表于 2006-2-19 05:23 资料主页短消息只看该作者

QUOTE:

原帖由天宫公主于2006-02-19, 5:01:17发表
顺便说一下, 四次方程可以利用椭圆函数(双向周期函数)的类似关系求解.

五次方程被证明不可能有通项公式, 简单的说是因为A_5群没有正子群.

不对吧，应当是5次方程可以用椭圆模函数一般的解出来(hermite)。

而Abel,Galois只是证明了5次以上的方程的解不能用代数运算来表示出来。


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#15

发表于 2006-2-19 12:22 资料主页个人空间短消息只看该作者

五次方程的解可以用椭圆函数来表示
但是这个解不是根式解

五次以及五次以上的方程没有根式解，因为n（n>=5）元交错群是单群。


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#16

发表于 2006-2-19 13:11 资料主页文集短消息只看该作者

最好的数学资料站点，hehe
http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html


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#17

发表于 2006-2-25 10:05 资料文集短消息只看该作者

Jerome Cardano（卡丹）是西方数学史上最牛B的数学家之一。

他是十六世纪欧洲人文主义的代表人物。他1501年出生于Pavia，他作为一个无赖兼学者的生涯是文艺复兴时期那些层出不穷的怪人的离奇生涯中最不寻常的一个。在他晚年写的回忆录《我的生平》（De Vita Propria）一书中，他向世人讲述了他的生世，当时的心情是很凄凉的。在书中，他既赞扬了自己同时又贬低了自己。他说他的父母遗留给他的只是痛苦和受人轻视；他度过了一个悲惨的童年，并且他生活的前四十年是这样的贫困，以至于自己都不认为自己可怜，因为他已经穷到没有什么可以失去了。他是个脾气暴躁的人，热心追求色欲，报复心重，好争吵，自负，缺少幽默感，不知后悔，而且喜欢故意恶语伤人。虽然他并不热中于赌博（这是他自己说的，但我们知道他是博弈论的创始人），但他在二十五年间每天都要掷骰子，并下了四十年的棋，作为摆脱贫困、慢性病、被人诬告和其他所受不公正待遇的手段。在他死后，1663年才出版的《博弈学概论》（Liber de Zudo Aleae）中，他说一个人应该用赌博赢钱来补偿失去的时间，还教人如何通过欺骗来保证获得这种补偿。

早在少年时，他就认定，如果一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间，这些时间本来是可以花在更值得做的事上的，比如学习。作为对在不合适的活动中浪费时间的补偿，他认真地分析了这种活动中的有价值的方面——智力因素，例如，从一副牌中抽出A的概率是多少？同时掷两个骰子，出现点数的和为7的概率是多少？等等。最终在《博弈学概论》书中，他公布了这些调查和思考的结果和他关于赌博实践的体会。这本书成书于1526年左右，但直到一百多年后的1663年才出版。在书中他提醒他的赌徒朋友，在分牌时，得到某一张牌的机会是随着前一张牌的选走而增大的。在题为“掷一个骰子”的章节里，他写道：“我能掷出2、4、6，同时也能掷出1、3、5。因此，如果骰子是‘诚实’的，那么下赌注就应依据这种等可能性；如果骰子不是‘诚实的’，那么它就以一定的或大一点或小一点的比例离开这种等可能性。”

在他把青春贡献给了数学、物理和赌博之后，他从帕维亚大学医科毕业了。他感到在这个小城住下去实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。他举办了很多科普讲座，在贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，都获得了很大的成功。1536年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。1539年米兰医学院聘用了他，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教皇。

可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。1546年，他的妻子去世，年仅三十一岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Giambattista）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医学方面的天赋，在帕维亚获得了医学学位。1557年，蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。

1562年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳大学的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Fazio）赴任。法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的亲生子女所没能带来的亲情。他还作为数学教授在几所意大利大学中任教。在1570年他因异端罪行被捕入狱，罪名是居然给耶稣基督算命。可怪的是，教皇后来却雇用他当自己的保健医生的占星术士。在他75岁时，他因有了名誉、一个外孙、财产、学问、有权势的朋友、笃信上帝、有十四颗好牙齿而自诩。这时他却给自己的死亡日期算了一卦，宣布自己将于1576年9月20日离开人世。可是到了预定死亡之日，他却活得好端端的，为了确保自己算命的准确性，他出门一头撞在马车轮下。

他的作品包括数学、天文学、占星术、医学和其他许多学科，其中还有道德格言（据说是用来弥补他在用纸牌赌博时出老千作B的行为），尽管他在科学上是训练有素的大师，但他却坚信占星术、梦、符咒、手相术、吉凶之兆和其他迷信，并写了很多这方面的著作。对于这些玄妙的玩意他会找出许多理由来辩护，他认为这些东西跟航海和医学一样可靠。他也写了关于宇宙间各种居民的巨著，这就是关于天使、恶魔和各种各样的智慧人物，在书中还包含了显然是从他的父亲的最好的朋友——比他更牛B的科学家达芬奇那里偷来的手稿。现存他的著作约有7000个页码，译成中文至少有二十卷。

自然哲学家企图把一切现实统一在巨著中的混合主义趋势，也明显地表现在卡丹的数学著作中。他不加批判地把古代的、中世纪的的当代的理论方面的和经验性的已有的数学知识，不辞劳苦地拼成百科全书。他不仅醉心于那不可思议的和神秘的数论，又爱好代数思维，在这方面他比同时代人无疑先进得多。有很多人指责他从冯塔纳那里剽窃了三次方程求根公式，其实他的代数水平远比冯塔纳高，我疑心剽窃对他来说只是一种乐趣、玩世不恭和对人类共同伦理价值观的蔑视。除了是个著名的医生和占星学家外，他对数学的浓厚兴趣高于十六世纪的其他博学的自然哲学家，甚至包括达芬奇在内。但数学对他来说不是方法，而是一种特殊的不可思议的才能，并且又是一种满载激情的思维。

一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的。”


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#18

发表于 2006-2-26 00:48 资料主页个人空间短消息只看该作者

既然贴了Cardano的介绍
更应该贴一下塔塔利亚的介绍（google之）

塔塔里亚(Nicolo Tartaglia)原名丰塔纳，是意大利著名的数学家、力学家、军事科学家。以发现三次方程的一般解法和始创弹道学而著称于世。
塔塔里亚大约1499年或1500年出生于意大利北部的布雷西亚。
在16世纪的意大利，是一个分裂的国家。1494年法国开始入侵。两国战争断断续续进行了六十多年。1512年2月19日法军劫掠布雷西亚，为了避难父亲将塔塔里亚背进教堂，本以为信天主教的法军不会在圣母玛利亚面前杀人，可谁曾想疯狂地法军进了教堂逢人便砍。等到塔塔里亚的母亲赶到时，父亲已经死了，而塔塔里亚也被砍伤了脸部，头部口舌多处受伤。伤愈后语言失灵，说起话来有些结巴，别人就给他起了一个绰号“塔塔里亚”，意大利语的意思就是“口吃者” 。早年丧父，家境贫寒的塔塔里亚并没有被贫苦的生活所吓倒，他在母亲的启蒙教育下自学成才。

塔塔里亚在1534年在威尼斯教学时，宣称已掌握了一元三次方程的解法。这一声明拉开了“三次方程论的威尼斯之战”的序幕。当时有一位数学家叫菲奥尔，他认为塔塔里亚这个自学成才的小子不会有这么大的能耐，要与塔塔里亚一比高低。于是双方协定于1535年2月22日，在米兰进行一场数学竞赛，双方各出30道题目给对方做，两小时内决出胜负。谁解的最多最快，谁就获胜。

塔塔里亚由于是自学成才所以赛前十分紧张。他明思苦想，在头脑里进行了三次方程的各种组合，终于在比赛前八天发现了一种新方法，这使他激动不以。于是利用这八天的时间反复熟悉自己的方法，并构造了30道只能用这一新方法才能解决的三次方程。

比赛当天，米兰市热闹非凡，人们都想看一看这场特殊的比赛到底谁是赢家。比赛正式开始，塔塔里亚胸有成竹，运笔如飞。而菲奥尔眉头紧簇，一筹莫展，最终以零比三十败北。获胜后，塔塔里亚经过进一步探索，终于找到了三次方程的一般解法，他的解法一直保密不肯公布出来。

自此塔塔里亚享誉欧洲。前后到威尼斯、布雷西亚、维罗纳等地讲学。此时，欧洲有一位著名的医生叫卡尔达诺(Girolamo Cardano 1501～1576)，他不但精通医术，还酷爱数学，而且研究过三次方程但一无所获。当他得知塔塔里亚已经很好的解决了这一问题时，就写信给塔塔里亚，央求把这个公式告诉他，企图与塔塔里亚分享这一成果。在卡尔达诺的再三要求，并诡称能推荐塔塔里亚任西班牙炮兵顾问，立誓永不泄密的前提下，于1539年3月25日获得了三次方程的解法，但未得到证明。

然而，卡尔达诺并未遵守他的诺言。他在其1545年出版的《大术》一书中公布了三次方程的解法。并写到“在我的恳求下塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明。借助于此，我找到了若干证法，因其十分困难，现将其叙述如下……”。

卡尔达诺的这一做法激怒了塔塔里亚，他在其著作《各式各样的问题与发明》一书中痛斥卡尔达诺的失信行为，导致了一场争吵。不过《大术》一书并非完全抄袭之作，其中包含许多卡尔达诺独特的创造。

塔塔里亚接着要求在米兰与卡尔达诺进行一场比赛。1548年8月10日比赛当天，卡尔达诺自己避不出席，只派了他天才的门徒费拉里(Ludovico Ferrari1522～1565)出场。费拉里熟知三次方程的解法，并已发现了四次方程的巧妙解法。比赛中，塔塔里亚先以三次方程的迅速解法取得优势，而费拉里则指摘对方不能解出四次方程，塔塔里亚无法抵挡这位天才青年的进攻，终于象当年的菲奥尔一样惨败米兰。

在数学史上，由于卡尔达诺最早发表了三次方程一般解法的公式，因而这一公式取名为卡尔达诺公式，塔塔里亚之名反而湮没无闻。

塔塔里亚最重要的著作是《数的度量通论》，这是当时初等数学的大全。此外他还翻译过欧几里得、阿基米德等人的著作。1537年，在其最早的著作《新科学》中论述了火炮的射击，这是探索自由落体运动和弹道学的先驱工作。
（供稿者：周国庆）
供稿者简介：周国庆，男，1991年毕业于首都师范大学数学系基础数学专业。
现任教于辽宁省盘锦市。


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#19

发表于 2011-2-13 08:39 资料短消息只看该作者

一元三次方程的解法：
   首先，把最高次项的系数化为1：
      x^3+bx^2+cx+d=0
   令x=y-b/3,得
      y^3+py+q=0
   令y=z-p/3z，得
      z^3-p^3/27z^3+q=0
   令z^3=w，得
      w-p^3/27w+q=0
   这是一个关于w的一元二次方程，解出w，解出z,y,x.
不用卡当公式也能解三次方程。另外还有盛金定理也可解三次方程。


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#20

发表于 2011-11-21 03:59 资料短消息只看该作者

哦呵呵

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#21

发表于 2011-11-21 12:16 资料个人空间短消息只看该作者

3次方程的根式解已经很复杂了，4次的话更长一串。不过，如果仅仅算解的话，公式解肿木也比啥方法解得快吧。。


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#22

发表于 2011-11-21 12:37 资料个人空间短消息只看该作者

good old a tomb!


	zhumeng

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#23

发表于 2011-11-24 15:11 资料短消息只看该作者

一元三次方程x³+px+q=0三个根可以写成这个形式
x+y
ωx+ω²y
ω²x+ωy
ω是使ω³=1的虚数。(从而每一个和两项乘积相同,而前一项是同一个数的立方根，后一项也是)
然后利用恒等式(m+n)³-3mn(m+n)-(m³+n³)=0可以知道
xy=-p/3
x³+y³=-q。
因此可令x=(-q/2+(q²/4+p³/27)^0.5)^(1/3)，y=(-q/2-(q²/4+p³/27)^0.5)^(1/3)
汗，原来是个坟

[ 本帖最后由 zhumeng 于 2011-11-24 15:12 编辑 ]